Eine unten offene quaderförmige Taucherglocke mit einer Höhe von \(4,00\rm{m}\) wird so weit in's Wasser abgelassen, bis die Oberkante der Taucherglocke mit der Wasseroberfläche abschließt. Dabei soll die Luft in der Taucherglocke während des Ablassens auf gleicher Temperatur bleiben und der äußere Luftdruck \(1,00\rm{bar}\) betragen.
a)
Berechne die Höhe \(h\), bis zu der das Wasser in der Taucherglocke steht.
Da die Temperatur innerhalb der Taucherglocke während des Ablassens konstant bleiben soll, benutzen wir zur Lösung der Aufgabe das Gesetz von BOYLE-MARIOTTE\[p_1 \cdot V_1 = p_2 \cdot V_2\quad(1)\]Gegeben ist hier zuerst einmal lediglich \(p_1 = 1,0\rm{bar}\). Bezeichnet man das (Innen-)Volumen der Taucherglocke mit \(V\), so ist \(V_1=V\). Aus geometrischen Überlegungen ergibt sich dann\[{V_2} = \frac{{4,0{\rm{m}} - h}}{{4,0{\rm{m}}}} \cdot V\]Löst man Gleichung \((1)\) nach \(p_2\) auf und setzt die gegebenen Werte ein, so ergibt sich\[{p_2} = \frac{{{p_1} \cdot {V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{1,0{\rm{bar}} \cdot V}}{{\frac{{4,0{\rm{m}} - h}}{{4,0{\rm{m}}}} \cdot V}} = \frac{{1,0{\rm{bar}} \cdot 4,0{\rm{m}}}}{{4,0{\rm{m}} - h}}\quad(2)\]Dieser Druck \(p_2\) muss nun gleich dem Wasserdruck \(p\) auf der Höhe des Wasserspiegels im Inneren der Taucherglocke sein. Dieser beträgt\[p = 1,0{\rm{bar}} + \frac{{{1,0\rm{bar}}}}{{10{\rm{m}}}} \cdot \left( {4,0{\rm{m}} - h} \right)\quad(3)\]Gleichsetzen der rechten Seiten der Gleichungen \((2)\) und \((3)\) liefert\[\frac{{1,0{\rm{bar}} \cdot 4,0{\rm{m}}}}{{4,0{\rm{m}} - h}} = 1,0{\rm{bar}} +\frac{{{1,0\rm{bar}}}}{{10{\rm{m}}}} \cdot \left( {4,0{\rm{m}} - h} \right)\]Dividiert man beide Seiten dieser Gleichung durch \(1,0{\rm{bar}}\), multipliziert beide Seiten der Gleichung mit \({4,0{\rm{m}} - h}\) und vereinfacht dann die Gleichung, so erhält man die Quadratische Gleichung\[\frac{1}{{10{\rm{m}}}} \cdot {h^2} - 1,8 \cdot h + 1,6{\rm{m}} = 0\]für die Größe \(h\). Deren Lösungsmenge ist \(L = \left\{ {0,94{\rm{m}}\;;\;17{\rm{m}}} \right\}\), von der nur die erste Lösung physikalisch sinnvoll ist. Das Wasser steht also \(h=94\rm{cm}\) hoch in der Taucherglocke.
b)
Wenn das Wasser \(h=94\rm{cm}\) in der Taucherglocke steht, so beträgt der Wasserdruck \(p\) und damit der Druck \(p_2\) im Innern der Taucherglocke nach Gleichung \((3)\) aus Aufgabenteil a) \[p = 1,0{\rm{bar}} + \frac{{{1,0\rm{bar}}}}{{10{\rm{m}}}} \cdot \left( {4,0{\rm{m}} - 0,94{\rm{m}}} \right) = 1,3{\rm{bar}}\]
