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Aufgabe

Neutronenfilter

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Ein Graphitkristall habe die folgenden Netzebenenabstände: \({d_1} = 1,23 \cdot {10^{ - 10}}{\rm{m}}\), \({d_2} = 2,13 \cdot {10^{ - 10}}{\rm{m}}\) und \({d_3} = 3,44 \cdot {10^{ - 10}}{\rm{m}}\).

a)Berechnen Sie, welche de BROGLIE-Wellenlänge \({\lambda _{\rm{K}}}\) darf nicht überschritten werden, wenn noch BRAGG-Reflexion auftreten soll.

b)Berechnen Sie die Geschwindigkeit \({v_{\rm{K}}}\) von Neutronen mit der oben berechneten Wellenlänge \({\lambda _{\rm{K}}}\).

c)Ein Strahl von Neutronen unterschiedlicher Geschwindigkeit trifft auf einen Graphitquader. Neutronen mit \(v < {v_{\rm{K}}}\) werden nicht gebeugt und durchdringen die Graphitschicht nahezu ungehindert.

Berechnen Sie die maximale kinetische Energie \({E_{\rm{K}}}\) dieser ungehindert passierenden Neutronen.

 

d)Mit der nebenstehend skizzierten Anordnung lassen sich aus einem polyenergetischen Neutronenstrahl ebenfalls Neutronen der Energie \({E_{\rm{K}}}\) herausfiltern.

Erläutern Sie diese Anordnung.

Berechnen Sie die notwendige Rotationsfrequenz, wenn der Radius der rotierenden Walze \(10{\rm{cm}}\), deren Länge \(80{\rm{cm}}\) und der Winkel \(\varphi  = 30^\circ \) ist.

Erklären Sie, welchen Vorteil dieses Neutronenfilter gegenüber dem von Teilaufgabe c) besitzt.

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a)Die Beziehung von BRAGG\[2 \cdot d \cdot \sin \left( \vartheta  \right) = k \cdot \lambda  \Leftrightarrow \sin \left( \vartheta  \right) = \frac{{k \cdot \lambda }}{{2 \cdot d}}\]kann nur erfüllt werden, wenn \({\rm{sin}}\left( \alpha  \right) \le 1\) ist. Dies bedeutet\[\frac{{k \cdot \lambda }}{{2 \cdot d}} \le 1 \Leftrightarrow \lambda  \le \frac{{2 \cdot d}}{k}\]Die größte obere Grenze für \(\lambda \) ergibt sich für \(d = {d_3}\) und \(k=1\), d.h.\[{\lambda _{\rm{K}}} = \frac{{2 \cdot {d_3}}}{1} = 2 \cdot {d_3} \Rightarrow {\lambda _{\rm{K}}} = 2 \cdot 3,44 \cdot {10^{ - 10}}{\rm{m}} = 6,88 \cdot {10^{ - 10}}{\rm{m}}\]Neutronen, deren de BROGLIE-Wellenlänge über \({\lambda _{\rm{K}}}\) liegt, werden nicht aus dem Bündel "herausgebeugt".

b)Die Geschwindigkeit \({v_{\rm{K}}}\) berechnet man mit Hilfe der de BROGLIE-Beziehung\[{\lambda _{\rm{K}}} = \frac{h}{{{p_{\rm{K}}}}} = \frac{h}{{{m_n} \cdot {v_{\rm{K}}}}} \Leftrightarrow {v_{\rm{K}}} = \frac{h}{{{m_n} \cdot {\lambda _{\rm{K}}}}} \Rightarrow {v_{\rm{K}}} = \frac{{6,63 \cdot {{10}^{ - 34}}{\rm{Js}}}}{{1,67 \cdot {{10}^{ - 27}}{\rm{kg}} \cdot 6,88 \cdot {{10}^{ - 10}}{\rm{m}}}} = 5,77 \cdot {10^2}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]

c)\[{E_{{\rm{kin,K}}}} = \frac{1}{2} \cdot {m_n} \cdot {v_{\rm{K}}}^2 \Rightarrow {E_{{\rm{kin,K}}}} = \frac{1}{2} \cdot 1,67 \cdot {10^{ - 27}}{\rm{kg}} \cdot {\left( {5,77 \cdot {{10}^2}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)^2} = 2,78 \cdot {10^{ - 22}}{\rm{J}} = 1,73{\rm{meV}}\]Neutronen mit \({E_{{\rm{kin}}}} \le {E_{{\rm{kin,K}}}}\) durchdringen den Kristall nahezu ungehindert.

d)In die rotierende Walze aus neutronenabsorbierendem Material ist eine Nut (Einkerbung) gefräst. Nur wenn sich die Walze mit einer zur Geschwindigkeit \({v_{\rm{K}}}\) korrespondierenden Frequenz dreht, hält sich das Neutron während des Durchgangs durch die Walze stets in der Einkerbung auf und wird somit nicht absorbiert.

Während der Zeit \(\Delta t\), die das Neutron mit der Geschwindigkeit \({v_{\rm{K}}}\) zur Passage der Walze braucht, muss sich diese um den Winkel \(\varphi \) drehen. Aus\[{v_{\rm{K}}} = \frac{l}{{\Delta t}}\quad(1)\]und\[\varphi  = \omega  \cdot \Delta t = 2 \cdot \pi  \cdot f \cdot \Delta t \Leftrightarrow \Delta t = \frac{\varphi }{{2 \cdot \pi  \cdot f}}\quad(2)\]ergibt sich durch Einsetzen von \((2)\) in \((1)\)\[{v_{\rm{K}}} = \frac{l}{{\frac{\varphi }{{2 \cdot \pi  \cdot f}}}} = \frac{{l \cdot 2 \cdot \pi  \cdot f}}{\varphi } \Leftrightarrow f = \frac{{{v_{\rm{K}}} \cdot \varphi }}{{l \cdot 2 \cdot \pi }}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[f = \frac{{5,77 \cdot {{10}^2}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 30^\circ }}{{0,80{\rm{m}} \cdot 360^\circ }} = 60{\rm{Hz}}\]Während bei der Anordnung von Teilaufgabe c) hinter dem Filter alle Geschwindigkeiten mit \(v < {v_{\rm{K}}}\) vorkommen, liegen die Geschwindigkeiten der Neutronen nach der Anordnung von Teilaufgabe d) in einem engen Bereich um \({v_{\rm{K}}}\) (abhängig von der Breite der Nut).

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