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Aufgabe

Elektronenstreuung an Kernen (Abitur BY 1998 LK A4-2)

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

1953 leitete Robert HOFSTADTER (1915 - 1990) die Untersuchung der Kernstruktur durch Experimente zur Streuung sehr schneller Elektronen an Bleikernen ein. Ein Target aus \({}^{207}{\rm{Pb}}\) wird mit Elektronen von \(600\rm{MeV}\) kinetischer Energie bestrahlt (siehe Skizze). Die Intensität der gestreuten Elektronen wird in Abhängigkeit von der Weite \(\delta \) des Streuwinkels gemessen.

a)Bei der Streuung von Elektronen mit der de-BROGLIE-Wellenlänge \(\lambda \) an einem kugelförmigen, undurchlässigen Hindernis mit Radius \(r\) gilt für die Winkelweite \({\delta _1}\), unter der das 1. Beugungsminimum auftritt \[r \cdot {\rm{sin}}\left( {{\delta _1}} \right) = 0,61 \cdot \lambda \] Berechne relativistisch die de-BROGLIE-Wellenlänge \(\lambda \) der einfallenden Elektronen und daraus die Winkelweite \({\delta _1}\). [zur Kontrolle \(\lambda  = 2,06 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{m}}\); \({{\delta _1} = 8,7^\circ }\)] (12 BE)

b)Tatsächlich beobachtet man in der Umgebung des Winkels \({{\delta _1}}\) ein anderes Beugungsmuster. HOFSTADTER führte die Abweichung auf Strukturen im Atomkern zurück.

Weise nach, dass dieses Muster nicht auf Interferenzen am Kristallgitter des Targets (Netzebenenabstand ca. \({10^{ - 10}}{\rm{m}}\)) zurückgeführt werden kann. (4 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Impuls aus Energie-Impulsbeziehung:
\[{p^2} \cdot {c^2} = {E^2} - {E_0}^2 \Rightarrow p = \frac{{\sqrt {{E^2} - {E_0}^2} }}{c}\]
Wellenlänge nach de-BROGLIE:
\[\lambda  = \frac{h}{p} = \frac{{h \cdot c}}{{\sqrt {{E^2} - {E_0}^2} }}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[\lambda  = \frac{{6,63 \cdot {{10}^{ - 34}}{\rm{Js}} \cdot 2,99 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{\sqrt {{{\left( {600,511 \cdot 1,602 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot {\rm{V}}} \right)}^2} - {{\left( {0,511 \cdot 1,602 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot {\rm{V}}} \right)}^2}} }} = 2,07 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{m}}\]
Radius des Bleikerns:
\[{r_{{\rm{Kern}}}} = {r_0} \cdot \sqrt[3]{A} \Rightarrow {r_{{\rm{Kern}}}} = 1,4 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{m}} \cdot \sqrt[3]{{207}} = 8,3 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{m}}\]
Auflösen der Streuformel liefert dann
\[r \cdot {\rm{sin}}\left( {{\delta _1}} \right) = 0,61 \cdot \lambda  \Leftrightarrow {\rm{sin}}\left( {{\delta _1}} \right) = \frac{{0,61 \cdot \lambda }}{r} \Rightarrow {\rm{sin}}\left( {{\delta _1}} \right) = 0,61 \cdot \frac{{2,07 \cdot {{10}^{ - 15}}{\rm{m}}}}{{8,3 \cdot {{10}^{ - 15}}{\rm{m}}}} = 0,152 \Rightarrow {\delta _1} = 8,7^\circ \]

b)Berechnet man den Streuwinkel nach BRAGG, so ergibt sich
\[2 \cdot d \cdot {\rm{sin}}\left( \vartheta  \right) = k \cdot \lambda  \Leftrightarrow {\rm{sin}}\left( \vartheta  \right) = \frac{{k \cdot \lambda }}{{2 \cdot d}} \Rightarrow {\rm{sin}}\left( \vartheta  \right) = k \cdot \frac{{2,07 \cdot {{10}^{ - 15}}{\rm{m}}}}{{2 \cdot 1,0 \cdot {{10}^{ - 10}}{\rm{m}}}} = k \cdot {10^{ - 5}}\] Beugungsmuster im Winkelbereich um \(9^\circ \) lassen sich damit nicht erklären.

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