Zur Messung von Verschiebungen im Bereich von Mikrometern oder kleiner können sogenannte Interferometer eingesetzt werden. Ihre Funktionsweise basiert auf der Interferenz von Licht.
a)
Beschreibe die Interferenz von zwei Wellen.
Erläutere die Bedeutung des Gangunterschieds. (6 BE)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Aufbau eines MICHELSON-Interferometers
Eine häufig eingesetzte Anordnung ist das MICHELSON-Interferometer, dessen prinzipieller Aufbau in Abb. 1 dargestellt ist. Laserlicht wird durch einen halbdurchlässigen Spiegel H in zwei Teilstrahlen zerlegt. Der eine wird an H reflektiert und trifft auf den Spiegel S2, der andere tritt durch H hindurch und trifft auf den Spiegel S1. Nach der Reflexion an S1 bzw. S2 wird das Licht im Detektor überlagert.
b)
Wenn die Abstände \(l_1\) und \(l_2\) gleich lang sind, wird im Detektor maximale Intensität gemessen.
Ermittle einen Term für den Gangunterschied \(\Delta s\) der beiden Teilstrahlen am Detektor.
Begründe damit diesen Sachverhalt. (4 BE)
c)
Am Detektor liegt zunächst ein Interferenzmaximum vor. Wird der Spiegel S1 nun nach rechts bewegt, werden abwechselnd Intensitätsminima und -maxima beobachtet.
Erkläre diese Beobachtung.
Gib einen Term für die Abstände \(d\) zur Ausgangsposition von S1 an, in denen Intensitätsminima auftreten. (6 BE)
Das weltweit größte Michelson-Interferometer ist das LIGO in den USA, mit dem im Jahr 2015 die ersten Gravitationswellen nachgewiesen wurden. Es wird mit Laserlicht der Wellenlänge \(\lambda=1064\,\rm{nm}\) betrieben. Die Strecke \(l_1\) beträgt effektiv \(560\,\rm{km}\).
d)
Eine Gravitationswelle aus passender Richtung dehnt bzw. staucht den Raum so, dass nur \(l_1\) um den Faktor \(10^{–21}\) geändert wird.
Berechne die zugehörige Längenänderung \(\Delta l_1\) in Metern.
Vergleiche diese mit der nötigen Spiegelverschiebung, um im Interferenzbild einen Wechsel zwischen Intensitätsmaximum und -minimum zu erreichen. [zur Kontrolle: \(\Delta l_1=5{,}6\cdot 10^{–16}\,\rm{m}\)] (5 BE)
e)
Um eine Gravitationswelle nachzuweisen, stellt man das Interferometer zunächst auf ein Intensitätsminimum ein. Wenn sich die Länge \(l_1\) um die kleine Strecke \(\Delta l_1\) ändert, dann ändert sich die Intensität am Detektor gemäß \(I\left(\Delta l_1\right)=I_0\cdot \left(2\pi \cdot \frac{\Delta l_1}{\lambda}\right)^2\). Dabei bezeichnet \(I_0\) die Intensität im Maximum.
Berechne den Anteil \(I\left(\Delta l_1\right) /I_0\), den der Detektor beim Durchlauf einer Gravitationswelle nachweisen können muss. (4 BE)
Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)
Unter Interferenz versteht man die Überlagerung von zwei oder mehr Wellen. Dabei wird die Amplitude der resultierenden Welle über die Superposition der Amplituden der einzelnen Wellen, die sich überlagern, gebildet.
Im einfachsten Fall betrachtet man dazu harmonische Wellen gleicher Amplitude, Frequenz und Schwingungsrichtung, die von zwei verschiedenen Quellen ausgehen. Zwischen zwei solchen Wellen tritt an einem Ort E konstruktive Interferenz auf, wenn sie sich hier in Phase befinden, also gerade immer Wellenberg auf Wellenberg bzw. Wellental auf Wellental trifft. Der Gangunterschied \(\Delta s\) der beiden Wellen muss dazu gerade ein vielfaches der Wellenlänge \(\lambda\) sein. Destruktive Interferenz, also eine gegenseitige Auslöschung der Wellen tritt hingegen an Stellen auf, an denen gerade immer ein Wellenberg auf ein Wellental oder umgekehrt trifft. Der Gangunterschied \(\Delta s\) zwischen den beiden Wellen muss dabei gerade ein Vielfaches von \(\frac{\lambda}{2}\) sein.
b)
Für die Länge des Weges von Strahl 1 über den Spiegel \(S_1\) zum Detektor gilt \(s_1=l_3+2\cdot l_1+l_4\). Die die Länge des Weges von Strahl 2 über den Spiegel \(S_2\) gilt \(s_2=l_3+2\cdot l_2+l_4\). Somit ergibt sich der Gangunterschied \(\Delta s\) zu\[\Delta s=|s_1-s_2|=|\left(l_3+2\cdot l_1+l_4\right)-\left(l_3+2\cdot l_2+l_2\right)|=|2\cdot l_1-2\cdot l_2|=2\cdot |l_1-l_2|\]Gilt nun \(l_1=l_2\) ist \(\Delta s=0\) Daher stellt man ein Interferenzmaximum fest.
c)
Bewegt man den Spiegel \(S_1\) nach rechts, so wird die Strecke \(l_1\) länger. Dadurch entsteht ein Gangunterschied \(\Delta s\), der zunimmt, je weiter man den Spiegel nach rechts verschiebt, je größer also \(d\) wird. Wenn ein Gangunterschied von \(\Delta s=\frac{\lambda}{2}\) erreicht ist, was gerade bei \(d=\frac{\lambda}{4}\) der Fall ist, da die Strecke zweimal durchlaufen wird, tritt zum ersten mal destruktive Interferenz auf. Es entsteht das erste Interferenzminimum. Wird der Spiegel weiter nach rechts geschoben vergrößert sich \(d\) und damit auch \(\Delta s\). Bei \(\Delta s=\lambda\) bzw. \(d=\frac{\lambda}{2}\) entsteht ein Maximum. Anschließend nimmt die Intensität wieder ab. Das zweite Intensitätsminimum ist zu beobachten, wenn \(\Delta s=\frac{3}{2}\cdot\lambda\) und somit \(d=\frac{3}{4}\cdot \lambda\) ist. Allgemein treten Interferenzminima somit immer dann auf, wenn \[d=\frac{2n-1}{4}\cdot \lambda\quad\text{ mit }\quad n \in \left\{ {1\;;\;2\;;\;3\;;\;...} \right\}\]
d)
Da die Länge \(l_1\) um den Faktor \(10^{-21}\) gedehnt wird, ergibt sich für die Längenänderung in Metern\[\Delta l_1=10^{-21}\cdot 560\cdot 10^3\,\rm{m}=5{,}6\cdot 10^{-16}\,\rm{m}\]Ein Wechsel von Interferenzmaximum zu Interferenzminimum findet immer dann statt, wenn sich \(\Delta s\) um \(\frac{\lambda}{2}\), also \(d\) um \(\frac{\lambda}{4}\) vergrößert. Bei der genutzten Wellenlänge ist\[d=\frac{\lambda}{4}=\frac{1064\,\rm{nm}}{4}=266\,\rm{nm}=266\cdot 10^{-9}\,\rm{m}\]Somit ist\[\frac{d}{\Delta l_1}=\frac{266\cdot 10^{-9}\,\rm{m}}{5{,}6\cdot 10^{-16}\,\rm{m}}=475\cdot 10^6\]Die für einen Wechsel zwischen Maximum und Minimum nötige Distanz \(d\) ist also \(475\) Millionen mal so lang wie die Längenausdehnung \(\Delta l_1\) aufgrund der Gravitationswelle.
e)
Für den Anteil \(\frac{I\left(\Delta l_1\right)}{I_0}\) gilt entsprechend der Angabe\[\frac{I\left(\Delta l_1\right)}{I_0}=\left(\frac{2\pi\cdot\Delta l_1}{\lambda}\right)^2\]Einsetzen der Werte von \(\Delta l_1=5{,}6\cdot 10^{-16}\,\rm{m}\) und \(\lambda=1064\,\rm{nm}\) liefert\[\frac{I\left(\Delta l_1\right)}{I_0}=\left(\frac{2\pi\cdot5{,}6\cdot 10^{-16}\,\rm{m}}{1064\cdot 10^{-9}\,\rm{m}}\right)^2=1{,}1\cdot 10^{-17}\]
