1. Fall: Naher Empfänger - \(e\gg d\) gilt nicht
Ist die Entfernung \(e\) zwischen den Quellen und dem Beobachtungspunkt nicht sehr viel größer als der Abstand \(d \) zwischen den beiden Quellen bzw. Spalte ist die Berechnung des Gangunterschiedes aufwendig.
Zur Berechnung des Gangunterschiedes \(\Delta s\) kann man nämlich keine Näherungen heranziehen, sondern die Abstände bzw. Weglängen müssen exakt berechnet werden. Es gilt:
\[\Delta s = \left| {\overline {{S_2}E} - \overline {{S_1}E} } \right|\]
Hinweis:
Das Betrachten von rechtwinkligen Dreiecken und die Verwendung des Satzes von Pythagoras ist hier meist hilfreich.
Übergang zu weiter entferntem Schirm
Die folgende Animation zeigt, was passiert, wenn die Entfernung \(e\) zwischen Quellen und Empfänger E im Vergleich zum Abstand \(d\) der beiden Quellen immer größer wird: Die Geraden \(\bar{\rm{S_1E}}\) und \(\overline{\rm{S_2E}}\) verlaufen nun nahezu parallel und die Winkelweite \(\alpha\) wird sehr klein, meist \(\alpha<5^{\circ}\)).
2. Fall: Es gilt \(e\gg d\)
Ist die Entfernung \(e \) des Beobachtungspunktes bzw. Schirms von den Quellen wie in Abb. 3 sehr groß gegenüber dem Abstand \(d \) der beiden Quellen (Spalte), ist die Berechnung des Gangunterschiedes etwas weniger aufwendig.
In diesem Fall kann annähernd davon ausgehen, dass die beiden Wellenstrahlen, die von den Sendern zum Empfänger laufen, parallel sind. Es gilt dann:\[\Delta s = \left| {\overline {{S_2}E} - \overline {{S_1}E} } \right| = d \cdot \sin (\alpha )\]Außerdem gilt: \[\tan (\alpha ) = \frac{a}{e}\]
Ist \(\alpha \) sehr klein (d.h. in der Schulpraxis \(\alpha < 5^\circ \)), so stimmt der Sinus und der Tangens eines Winkels gut überein und du kannst die Kleinwinkelnäherung \(\tan (\alpha ) \approx \sin (\alpha )\) nutzen, sodass folgt\[\Delta s = d \cdot \tan (\alpha ) \Rightarrow \Delta s = d \cdot \frac{a}{e}\]
Weitere Einflussmöglichkeiten auf den Gangunterschied
Der Gangunterschied zwischen zwei Wellen kann nicht nur durch die räumliche Entfernung zueinander sondern auch durch weitere Faktoren beeinflusst werden. So kann eine Welle sich in einem anderen Medium ausbreiten oder an einer Oberfläche reflektiert werden. Beides beeinflusst den Gangunterschied zu einer Welle, die sich unreflektiert im Vakuum ausbreitet.
Optische Weglänge
Trifft eine elektromagnetische Welle aus der Luft, wo sich die Welle mit der Geschwindigkeit \({c_0}\)) ausbreitet auf transparente Materie anderer optischer Dichte, so löst sie in der Materie eine frequenzgleiche elektromagnetische Welle aus (erzwungene Schwingung). In der Materie besitzt die Welle jedoch die von der optischen Dichte \(n\) abhängige Ausbreitungsgeschwindigkeit \({c_1}\)).
Aus \(\frac{{{c_0}}}{{{c_1}}} = n\) folgt wegen \(c = f \cdot \lambda \): \[\frac{{{\lambda _0}}}{{{\lambda _1}}} = n\]Da die Lichtgeschwindigkeit in Luft (Vakuum) am größten ist, folgt \({\lambda _0} > {\lambda _1}\).
Dies hat zur Folge, dass auf ein Materiestück der Länge \(l\) die gleiche Anzahl von Wellenlängen trifft, wie im Vakuum auf die Strecke \(n \cdot l\) (siehe Abb. 4). Man bezeichnet daher \(n \cdot l\) als die optische Weglänge.
Bezüglich der Interferenz sind die Länge \(n \cdot l\) in Luft und \(l\) in Materie gleichwertig.
Berücksichtigung des Phasensprungs
