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Grundwissen

Gangunterschied bei zwei Quellen

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Zur Berechnung des Gangunterschiedes muss zwischen verschiedenen Fällen unterschieden werden.
  • Bei Reflexion am optisch dichteren Medium muss der Phasensprung berücksichtigt werden.

1. Fall: Es gilt nicht a >> b

Der Abstand \(b \) der beiden Quellen (Spalte) ist nicht klein gegenüber der Entfernung \(a \) des Beobachtungspunktes.

gang01_beugunginterferenz_gru_0.gif Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Weglängenunterschied bei kleinem Abstand Sender-Schirm

Zur Berechnung des Gangunterschiedes kann man keine Näherungen heranziehen. Es gilt:
\[\Delta s = \left| {\overline {{S_2}E}  - \overline {{S_1}E} } \right|\]
Hinweis:
Die Verwendung des Satzes von Pythagoras ist meist hilfreich.

Übergang zu weiter entferntem Schirm

Wie die folgende Animation zeigt, werden dann, wenn die Entfernung \(a\) zwischen Quelle und Empfänger E im Vergleich zum Abstand \(b\) der beiden Sender immer größer wird, die Geraden \(\bar{\rm{S_1E}}\) und \(\overline{\rm{S_2E}}\) nahezu parallel und die Winkelweite \(\alpha\) wird sehr klein (meist \(\alpha<5^{\circ}\)).

Abb. 2 Abhängigkeit des Gangunterschieds zweier Lichtwellen bei Veränderung des Winkels, unter dem sie betrachtet werden

2. Fall: Es gilt a >> b

Der Abstand \(b \) der beiden Quellen (Spalte) ist sehr klein gegenüber der Entfernung \(a \) des Beobachtungspunktes.

wellen_interferenz_grosser_abstand.svg Joachim Herz Stiftung
Abb. 3 Gangunterschied für a >> b

In diesem Fall kann annähernd davon ausgehen, dass die beiden Wellenstrahlen, die von den Sendern zum Empfänger laufen, parallel sind. Es gilt dann:
\[\Delta s = \left| {\overline {{S_2}E}  - \overline {{S_1}E} } \right| = b \cdot \sin (\alpha )\]
Außerdem gilt: \[\tan (\alpha ) = \frac{d}{a}\]

Ist \(\alpha \) sehr klein (d.h. in der Schulpraxis \(\alpha  < 5^\circ \)), so stimmt der Sinus und der Tangens eines Winkels gut überein und du kannst die Kleinwinkelnäherung \(\tan (\alpha ) \approx \sin (\alpha )\) nutzen, sodass folgt
\[\Delta s = b \cdot \tan (\alpha ) \Rightarrow \Delta s = b \cdot \frac{d}{a}\]

Optische Weglänge

wegl_beugunginterferenz.svg Joachim Herz Stiftung

Trifft eine elektromagnetische Welle aus der Luft (Ausbreitungsgeschwindigkeit \({c_0}\)) auf transparente Materie (Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle \({c_1}\)), so löst sie in der Materie eine frequenzgleiche elektromagnetische Welle aus (erzwungene Schwingung).

Aus \(\frac{{{c_0}}}{{{c_1}}} = n\) folgt wegen \(c = f \cdot \lambda \) : \(\frac{{{\lambda _0}}}{{{\lambda _1}}} = n\)

Da die Lichtgeschwindigkeit in Luft (Vakuum) am größten ist, folgt: \({\lambda _0} < {\lambda _1}\);

Dies hat zur Folge, dass auf ein Materiestück der Länge \(d\) die gleiche Anzahl von Wellenlängen trifft, wie im Vakuum auf die Strecke \(n \cdot d\).
Man bezeichnet \(n \cdot d\) als optische Weglänge.

Bezüglich der Interferenz sind die Länge \(n \cdot d\) in Luft und \(d\) in Materie gleichwertig.

Berücksichtigung des Phasensprungs

phasensprung_beugunginterferenz.svg Joachim Herz Stiftung
Wird Licht an einem Übergang vom optisch dünneren Medium zum optisch dichteren Medium reflektiert, so findet ein Phasensprung statt. Man berücksichtigt dies, in dem man zum geometrischen Weg noch die Strecke \({\frac{\lambda }{2}}\) addiert. \[\Delta s = \left| {\overline {SR}  + \overline {RE}  + \frac{\lambda }{2} - \overline {ES} } \right|\]