Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit von Sauerstoff- und Wasserstoffmolekülen bei einer Temperatur von 27°C.
b)
Vergleichen Sie die in Teilaufgabe a) berechneten Geschwindigkeiten mit der Fluchtgeschwindigkeit der Erde (Geschwindigkeit, mit der ein Körper der Erdanziehung entfliehen kann: vfl,er = 11,2 km/s). Begründen Sie, warum sich in der Erdatmosphäre wohl noch freier Sauerstoff, nicht mehr aber freier Wasserstoff befindet.
c)
Eine Faustregel besagt, dass sich in der Atmosphäre eines Planeten nur solche Gase befinden, deren mittlere Geschwindigkeit kleiner als ein Sechstel der Fluchtgeschwindigkeit für diesen Planeten ist. Prüfen Sie, welche der Gase O2, H2 und CO2 auf dem Planeten Mars (Oberflächentemperatur 0°C) zu erwarten sind.
Hinweis: Besorgen Sie sich die notwendige Formel für die Fluchtgeschwindigkeit und die Marsdaten aus einer geeigneten Formelsammlung.
Die beiden mittleren Geschwindigkeiten sind kleiner als die Fluchtgeschwindigkeit auf der Erde. Allerdings ist die mittlere Geschwindigkeit der Sauerstoffmoleküle nur etwa 1/25 der Fluchtgeschwindigkeit, während die mittlere Geschwindigkeit der Wasserstoffmoleküle ca. 1/6 der Fluchtgeschwindigkeit beträgt.
Die Bilder der MAXWELL'schen Geschwindigkeitsverteilung zeigen, dass ein erheblicher Teil der Moleküle deutlich schneller ist als es die mittlere Geschwindigkeit angibt. Diese Teilchen können das Schwerefeld der Erde dann verlassen. Die Wahrscheinlichkeit, dass dies geschieht ist bei Wasserstoff wesentlich höher als beim Sauerstoff.
c)
Berechnung der Fluchtgeschwindigkeit auf dem Mars:\[{v_{\rm{F}}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot G \cdot {m_{{\rm{Planet}}}}}}{{{r_{{\rm{Planet}}}}}}} \Rightarrow {v_{{\rm{F}}{\rm{,Mars}}}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot 6,67 \cdot {{10}^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^2}}} \cdot 0,107 \cdot 5,98 \cdot {{10}^{24}}{\rm{kg}}}}{{0,533 \cdot 6,37 \cdot {{10}^6}{\rm{m}}}}} = 5,0 \cdot {10^3}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
Berechnung der mittleren Geschwindigkeiten der Gase:
Ein Sechstel der Fluchtgeschwindigkeit ist ca. \(8,3 \cdot {10^2}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\). Dies bedeutet, dass Sauerstoff und Kohlendioxid sich in der Marsatmosphäre halten könnten, Wasserstoff dagegen nicht.