Kinetische Gastheorie

Es gilt\[{{\bar E}_{kin}} = \frac{3}{2} \cdot {k_{\rm{B}}} \cdot T \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot {m_{\rm{A}}} \cdot \overline {{v^2}}  = \frac{3}{2} \cdot {k_{\rm{B}}} \cdot T \Leftrightarrow \overline {{v^2}}  = \frac{{3 \cdot {k_{\rm{B}}} \cdot T}}{{{m_{\rm{r}}} \cdot u}} \Rightarrow \overline v  = 0,92 \cdot \sqrt {\frac{{3 \cdot {k_{\rm{B}}} \cdot T}}{{{m_{\rm{r}}} \cdot u}}} \]und damit für Sauerstoff\[\overline v  = 0,92 \cdot \sqrt {\frac{{3 \cdot 1,38 \cdot {{10}^{ - 23}}\frac{{\rm{J}}}{{\rm{K}}} \cdot 300{\rm{K}}}}{{32 \cdot 1,66 \cdot {{10}^{ - 27}}{\rm{kg}}}}}  = 4,4 \cdot {10^2}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]und für Wasserstoff\[\overline v  = 0,92 \cdot \sqrt {\frac{{3 \cdot 1,38 \cdot {{10}^{ - 23}}\frac{{\rm{J}}}{{\rm{K}}} \cdot 300{\rm{K}}}}{{2 \cdot 1,66 \cdot {{10}^{ - 27}}{\rm{kg}}}}}  = 1,8 \cdot {10^3}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]

Die beiden mittleren Geschwindigkeiten sind kleiner als die Fluchtgeschwindigkeit auf der Erde. Allerdings ist die mittlere Geschwindigkeit der Sauerstoffmoleküle nur etwa 1/25 der Fluchtgeschwindigkeit, während die mittlere Geschwindigkeit der Wasserstoffmoleküle ca. 1/6 der Fluchtgeschwindigkeit beträgt.

Die Bilder der MAXWELL'schen Geschwindigkeitsverteilung zeigen, dass ein erheblicher Teil der Moleküle deutlich schneller ist als es die mittlere Geschwindigkeit angibt. Diese Teilchen können das Schwerefeld der Erde dann verlassen. Die Wahrscheinlichkeit, dass dies geschieht ist bei Wasserstoff wesentlich höher als beim Sauerstoff.

Berechnung der Fluchtgeschwindigkeit auf dem Mars:\[{v_{\rm{F}}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot G \cdot {m_{{\rm{Planet}}}}}}{{{r_{{\rm{Planet}}}}}}}  \Rightarrow {v_{{\rm{F}}{\rm{,Mars}}}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot 6,67 \cdot {{10}^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^2}}} \cdot 0,107 \cdot 5,98 \cdot {{10}^{24}}{\rm{kg}}}}{{0,533 \cdot 6,37 \cdot {{10}^6}{\rm{m}}}}}  = 5,0 \cdot {10^3}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]

Berechnung der mittleren Geschwindigkeiten der Gase:

Sauerstoff:\[\overline v  = 0,92 \cdot \sqrt {\frac{{3 \cdot 1,38 \cdot {{10}^{ - 23}}\frac{{\rm{J}}}{{\rm{K}}} \cdot 273{\rm{K}}}}{{32 \cdot 1,66 \cdot {{10}^{ - 27}}{\rm{kg}}}}}  = 4,2 \cdot {10^2}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
Wasserstoff:\[\overline v  = 0,92 \cdot \sqrt {\frac{{3 \cdot 1,38 \cdot {{10}^{ - 23}}\frac{{\rm{J}}}{{\rm{K}}} \cdot 273{\rm{K}}}}{{2 \cdot 1,66 \cdot {{10}^{ - 27}}{\rm{kg}}}}}  = 1,7 \cdot {10^3}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
Kohlendioxid:\[\overline v  = 0,92 \cdot \sqrt {\frac{{3 \cdot 1,38 \cdot {{10}^{ - 23}}\frac{{\rm{J}}}{{\rm{K}}} \cdot 273{\rm{K}}}}{{44 \cdot 1,66 \cdot {{10}^{ - 27}}{\rm{kg}}}}}  = 3,6 \cdot {10^2}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]

Ein Sechstel der Fluchtgeschwindigkeit ist ca. \(8,3 \cdot {10^2}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\). Dies bedeutet, dass Sauerstoff und Kohlendioxid sich in der Marsatmosphäre halten könnten, Wasserstoff dagegen nicht.