Hinweis: Diese Aufgabe stammt aus der Seminararbeit von Frau Prof. Dr. Gruber.
a)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Kugelstoßer Flexon
Der Kugelstoßer Flexon stößt die Kugel mit einer Geschwindigkeit von \(13{,}7\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) aus einer Höhe von \({y_0} = 1{,}80\,{\rm{m}}\). Sein Trainer rät Flexon, die Kugel etwa unter einem Winkel von \(40{,}0^\circ \) gegen die Horizontale wegstoßen.
Berechne, welche Weite Flexon so erreicht.
b)
Flexon erinnert sich schwach an den Physikunterricht. Dort hat er gelernt, dass der optimale Abstoßwinkel \(45^\circ \) sei.
Prüfe durch Rechnung, ob bei sich bei einem Wurfwinkel von \(45{,}0^\circ \) und \(42{,}0^\circ \) größere Weiten ergeben.
Die Zeit-Ort-Funktionen des Schrägen Wurfes lauten\[x(t) = {v_0} \cdot \cos \left( \alpha \right) \cdot t \;\; {\rm{und}} \;\; y(t) =- \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2} + {v_0} \cdot \sin \left( \alpha \right) \cdot t + {y_0}\]Die Fallzeit \({t_{\rm{F}}}\) lässt sich durch die Bedingung \(y({t_{\rm{F}}}) = 0\) bestimmen, die auf folgende Quadratische Gleichung führt:\[0 = \underbrace { - \frac{1}{2} \cdot g}_a \cdot {{t_{\rm{F}}}^2} + \underbrace {{v_0} \cdot \sin \left( \alpha \right)}_b \cdot {t_{\rm{F}}} + \underbrace {{y_0}}_c\]Nach der allgemeinen Lösungsformel für Quadratische Gleichungen ergeben sich die beiden Lösungen\[{t_{\rm{F,1}}} = \frac{{ - {v_0} \cdot \sin \left( \alpha \right) + \sqrt {{{\left( {{v_0} \cdot \sin \left( \alpha \right)} \right)}^2} - 4 \cdot \left( { - \frac{1}{2} \cdot g} \right) \cdot {y_0}} }}{{2 \cdot \left( { - \frac{1}{2} \cdot g} \right)}} = \frac{{ - {v_0} \cdot \sin \left( \alpha \right) + \sqrt {{{\left( {{v_0} \cdot \sin \left( \alpha \right)} \right)}^2} + 2 \cdot g \cdot {y_0}} }}{{ - g}}\]und\[{t_{\rm{F,2}}} = \frac{{ - {v_0} \cdot \sin \left( \alpha \right) - \sqrt {{{\left( {{v_0} \cdot \sin \left( \alpha \right)} \right)}^2} - 4 \cdot \left( { - \frac{1}{2} \cdot g} \right) \cdot {y_0}} }}{{2 \cdot \left( { - \frac{1}{2} \cdot g} \right)}} = \frac{{ - {v_0} \cdot \sin \left( \alpha \right) - \sqrt {{{\left( {{v_0} \cdot \sin \left( \alpha \right)} \right)}^2} + 2 \cdot g \cdot {y_0}} }}{{ - g}}\]wobei physikalisch die 2. Lösung relevant ist (die 1. Lösung liefert eine negative Zeit). Die Lösung lässt sich noch vereinfachen zu\[{t_{\rm{F}}}={t_{\rm{F,2}}} = \frac{{{v_0} \cdot \sin \left( \alpha \right) + \sqrt {{{\left( {{v_0} \cdot \sin \left( \alpha \right)} \right)}^2} + 2 \cdot g \cdot {y_0}} }}{g}\]Aus der Fallzeit \({t_{\rm{F}}}\) lässt sich nun mit Hilfe der Zeit-Ort-Funktion \(x(t)\) des Schrägen Wurfes die Wurfweite \({x_{\rm{W}}}\) berechnen:\[{x_{\rm{W}}} = x({t_{\rm{F}}}) = {v_0} \cdot \cos \left( \alpha \right) \cdot {t_{\rm{F}}} = {v_0} \cdot \cos \left( \alpha \right) \cdot \frac{{{v_0} \cdot \sin \left( \alpha \right) + \sqrt {{{\left( {{v_0} \cdot \sin \left( \alpha \right)} \right)}^2} + 2 \cdot g \cdot {y_0}} }}{g}\quad (1)\]Nun kann man die gegebenen Werte einsetzen:\[{x_{\rm{W}}} = {13{,}7\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \cdot \cos \left(40{,}0^\circ \right) \cdot \frac{{{13{,}7\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \cdot \sin \left(40{,}0^\circ \right) + \sqrt {{{\left( {13{,}7\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot \sin \left( 40{,}0^\circ \right)} \right)}^2} + 2 \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s^2}}} \cdot {1{,}80\,{\rm{m}}}} }}{9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s^2}}}}=20{,}8\,\rm{m}\]Flexon erreicht also eine Weite von ca. \(20{,}8\,\rm{m}\).
b)
Für den Vergleich musst du in Gleichung \(\left(1\right)\) für \(\alpha \) einmal \(45^\circ \) und einmal \(42^\circ \) einsetzen und die Ergebnisse vergleichen.
Für \(\alpha =45{,}0^\circ \) ergibt sich für \({x_{\rm{W}}}\) gerundet ebenfalls \({x_{\rm{W}}} = 20{,}8\,{\rm{m}}\).
Für \(\alpha =42{,}0^\circ \) ergibt sich für \({x_{\rm{W}}}\) gerundet \({x_{\rm{W}}} = 20{,}9\,{\rm{m}}\).
Somit liegen also weder der Trainer noch der Physiklehrer ganz richtig; der optimale Wurfwinkel beim Schrägen Wurf ist nämlich nur dann \(45^\circ \), wenn \({y_0} = 0\,{\rm{m}}\) ist, der Wurf also auf Höhe des Bodens beginnt. Dies ist beim Kugelstoßen aber natürlich nicht der Fall.
