Strömungslehre

Joachim Herz Stiftung

Als Geradeausflug bezeichnet man die Bewegung des Flugzeugs mit konstanter Höhe und konstanter horizontaler Geschwindigkeit. Es handelt sich also um eine gleichförmige Bewegung, bei der sich alle auf das Flugzeug wirkenden Kräfte kompensieren.

Aus Abb. 1 ist Folgendes ersichtlich:

• Die Auftriebskraft \(\vec F_{\rm{A}}\) ist betragsgleich der Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) \(\quad (1)\).
• Die Schubkraft \(\vec F_{\rm{Schub}}\) ist betragsgleich dem Luftwiderstand \(\vec F_{\rm{LR}}\) \(\quad (2)\).

Wir berechnen zuerst den Betrag \( F_{\rm{G}}\) der Gewichtskraft des Flugzeugs durch\[ F_{\rm{G}}=m \cdot g \Rightarrow F_{\rm{G}}=1100\,\rm{kg} \cdot 9{,}81\,\frac{\rm{N}}{\rm{kg}}=10800\,\rm{N}\]Aus Bedingung \((1)\) ergibt sich\[F_{\rm{A}} = F_{\rm{G}} = 10800\,\rm{N}\]Aus der Definition der Gleitzahl \(\varepsilon\) ergibt sich\[\varepsilon  = \frac{{{F_{\rm{A}}}}}{{{F_{\rm{LR}}}}} \Leftrightarrow {F_{\rm{LR}}} = \frac{F_{\rm{A}}}{\varepsilon } \Rightarrow {F_{\rm{LR}}} = \frac{{10800\,{\rm{N}}}}{30} = 360\,{\rm{N}}\]Aus Bedingung \((2)\) ergibt sich\[F_{\rm{Schub}} = F_{\rm{LR}} = 360\,\rm{N}\]Damit ergibt sich für die Strömungsleistung mit \(v=210\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}=58{,}3\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\)\[{P_{\rm{w}}} = {F_{\rm{LR}}} \cdot v \Rightarrow {P_{\rm{w}}} = 360\,{\rm{N}} \cdot 58{,}3\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 21{,}0\,{\rm{kW}} = 28{,}5\,{\rm{Ps}}\]Schließlich erhalten wir mit der Formel für den Betrag des dynamischen Auftriebs\[{F_{\rm{A}}} = \frac{1}{2} \cdot {c_{\rm{A}}} \cdot \rho  \cdot A \cdot {v^2} \Leftrightarrow {c_{\rm{A}}} = \frac{{2 \cdot {F_{\rm{A}}}}}{{\rho  \cdot A \cdot {v^2}}}\]für den \({c_{\rm{A}}}\)-Wert\[{c_{\rm{A}}} = \frac{{2 \cdot 10800\,{\rm{N}}}}{{1{,}20\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^3}}} \cdot 16\,{{\rm{m}}^2} \cdot {{\left( {58{,}3\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}} = 0{,}33\]und mit der Formel für den Betrag der Luftreibung\[{F_{\rm{LR}}} = \frac{1}{2} \cdot {c_{\rm{w}}} \cdot \rho  \cdot A \cdot {v^2} \Leftrightarrow {c_{\rm{w}}} = \frac{{2 \cdot {F_{\rm{LR}}}}}{{\rho  \cdot A \cdot {v^2}}}\]für den \({c_{\rm{w}}}\)-Wert\[{c_{\rm{w}}} = \frac{{2 \cdot 360\,{\rm{N}}}}{{1{,}20\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^3}}} \cdot 16\,{{\rm{m}}^2} \cdot {{\left( {58{,}3\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}} = 0{,}011\]

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Wir gehen davon aus, dass beim Sinkflug keine Schubkraft durch den Motor wirkt und dass das Flugzeug mit konstanter Geschwindigkeit sinkt. Es handelt sich also wiederum um eine gleichförmige Bewegung, bei der sich alle auf das Flugzeug wirkenden Kräfte kompensieren.

Aus Abb. 2 ist Folgendes ersichtlich:

• Die Resultierende aus Auftriebskraft \(\vec F_{\rm{A}}\) und Luftwiderstand \(\vec F_{\rm{LR}}\) ist betragsgleich der Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\).

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Dies bedeutet geometrisch, dass im Dreieck, dass man aus Auftriebskraft \(\vec F_{\rm{A}}\) und Luftwiderstand \(\vec F_{\rm{LR}}\) als Katheten und der Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) als Hypotenuse ein rechtwinkliges Dreieck bilden kann (Abb. 4), in dem der Satz des PYTHAGORAS gilt:\[{F_{\rm{A}}}^2 + {F_{{\rm{LR}}}}^2 = {F_{\rm{G}}}^2 \quad(1)\]Weiter ergibt sich aus der Definition der Gleitzahl\[\varepsilon  = \frac{{{F_{\rm{A}}}}}{{{F_{{\rm{LR}}}}}} \Leftrightarrow {F_{{\rm{LR}}}} = \frac{{{F_{\rm{A}}}}}{\varepsilon }\quad (2)\]Setzen wir \((2)\) in \((1)\) ein, so erhalten wir\[\begin{eqnarray}{F_{\rm{A}}}^2 + {\left( {\frac{{{F_{\rm{A}}}}}{\varepsilon }} \right)^2} &=& {F_{\rm{G}}}^2\\{F_{\rm{A}}}^2 \cdot \left( {1 + \frac{1}{{{\varepsilon ^2}}}} \right) &=& {F_{\rm{G}}}^2\\{F_{\rm{A}}}^2 &=& \frac{{{F_{\rm{G}}}^2}}{{1 + \frac{1}{{{\varepsilon ^2}}}}}\\{F_{\rm{A}}} &=& \frac{{{F_{\rm{G}}}}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{\varepsilon ^2}}}} }}\end{eqnarray}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{F_{\rm{A}}} = \frac{{10800\,{\rm{N}}}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{{30{,}0}^2}}}} }} = 10800\,{\rm{N}}\]Aus Gleichung \((2)\) ergibt sich dann\[{F_{{\rm{LR}}}} = \frac{{{F_{\rm{A}}}}}{\varepsilon } \Rightarrow {F_{\rm{LR}}} = \frac{{10800\,{\rm{N}}}}{30} = 360\,{\rm{N}}\]Schließlich erhalten wir mit der Formel für den Betrag des dynamischen Auftriebs\[{F_{\rm{A}}} = \frac{1}{2} \cdot {c_{\rm{A}}} \cdot \rho  \cdot A \cdot {v^2} \Leftrightarrow {c_{\rm{A}}} = \frac{{2 \cdot {F_{\rm{A}}}}}{{\rho  \cdot A \cdot {v^2}}}\]mit \(v=110\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}=30{,}6\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) für den \({c_{\rm{A}}}\)-Wert\[{c_{\rm{A}}} = \frac{{2 \cdot 10800\,{\rm{N}}}}{{1{,}20\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^3}}} \cdot 16\,{{\rm{m}}^2} \cdot {{\left( {30{,}6\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}} = 1{,}20\]und mit der Formel für den Betrag der Luftreibung\[{F_{\rm{LR}}} = \frac{1}{2} \cdot {c_{\rm{w}}} \cdot \rho  \cdot A \cdot {v^2} \Leftrightarrow {c_{\rm{w}}} = \frac{{2 \cdot {F_{\rm{LR}}}}}{{\rho  \cdot A \cdot {v^2}}}\]für den \({c_{\rm{w}}}\)-Wert\[{c_{\rm{w}}} = \frac{{2 \cdot 360\,{\rm{N}}}}{{1{,}20\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^3}}} \cdot 16\,{{\rm{m}}^2} \cdot {{\left( {30{,}6\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}} = 0{,}04\]

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Wir gehen davon aus, dass beim Steigflug das Flugzeug mit konstanter Geschwindigkeit steigt. Es handelt sich also um eine gleichförmige Bewegung, bei der sich alle auf das Flugzeug wirkenden Kräfte kompensieren.

Aus Abb. 4 ist Folgendes ersichtlich:

• Die Auftriebskraft \(\vec F_{\rm{A}}\) ist betragsgleich der Projektion der Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) senkrecht zur Flugrichtung \(\quad (1)\).
• Die Schubkraft \(\vec F_{\rm{Schub}}\) ist betragsgleich der Summe aus der Projektion der Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) in Flugrichtung und der Luftreibung \(\vec F_{\rm{LR}}\) \(\quad (2)\).

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Wie Abb. 5 zeigt ergibt sich aus Bedingung \((1)\)\[F_{\rm{A}} = F_{\rm{G}} \cdot \cos\left(\alpha\right) \Rightarrow F_{\rm{A}} = 10800\,\rm{N} \cdot \cos\left(30{,}0^\circ\right)= 9350\,\rm{N}\]Aus der Definition der Gleitzahl \(\varepsilon\) ergibt sich\[\varepsilon  = \frac{{{F_{\rm{A}}}}}{{{F_{\rm{LR}}}}} \Leftrightarrow {F_{\rm{LR}}} = \frac{F_{\rm{A}}}{\varepsilon } \Rightarrow {F_{\rm{LR}}} = \frac{9350\,\rm{N}}{30}= 310\,\rm{N}\]

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Wie Abb. 6 zeigt gilt für die Projektion \(\vec F_{\rm{R}}\) der Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) in Flugrichtung\[F_{\rm{R}} = F_{\rm{G}} \cdot \sin\left(\alpha\right) \Rightarrow F_{\rm{R}} = 10800\,\rm{N} \cdot \sin\left(30{,}0^\circ\right)= 5400\,\rm{N}\]Aus Bedingung \((2)\) ergibt sich schließlich\[F_{\rm{Schub}} = F_{\rm{R}} + F_{\rm{LR}} \Rightarrow F_{\rm{Schub}} = 5400\,\rm{N} + 310\,\rm{N}=5710\,\rm{N}\]Damit ergibt sich für die Leistung \(P_{\rm{M}}\) , die der Motor aufbringen muss, mit \(v=150\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}=41{,}7\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\)\[{P_{\rm{M}}} = {F_{\rm{Schub}}} \cdot v \Rightarrow {P_{\rm{M}}} = 5710\,{\rm{N}} \cdot 41{,}7\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 238\,{\rm{kW}} = 323\,{\rm{Ps}}\]Schließlich erhalten wir mit der Formel für den Betrag des dynamischen Auftriebs\[{F_{\rm{A}}} = \frac{1}{2} \cdot {c_{\rm{A}}} \cdot \rho  \cdot A \cdot {v^2} \Leftrightarrow {c_{\rm{A}}} = \frac{{2 \cdot {F_{\rm{A}}}}}{{\rho  \cdot A \cdot {v^2}}}\]für den \({c_{\rm{A}}}\)-Wert\[{c_{\rm{A}}} = \frac{{2 \cdot 9350\,{\rm{N}}}}{{1{,}20\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^3}}} \cdot 16\,{{\rm{m}}^2} \cdot {{\left( {41{,}7\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}} = 0{,}56\]und mit der Formel für den Betrag der Luftreibung\[{F_{\rm{LR}}} = \frac{1}{2} \cdot {c_{\rm{w}}} \cdot \rho  \cdot A \cdot {v^2} \Leftrightarrow {c_{\rm{w}}} = \frac{{2 \cdot {F_{\rm{LR}}}}}{{\rho  \cdot A \cdot {v^2}}}\]für den \({c_{\rm{w}}}\)-Wert\[{c_{\rm{w}}} = \frac{{2 \cdot 310\,{\rm{N}}}}{{1{,}20\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^3}}} \cdot 16\,{{\rm{m}}^2} \cdot {{\left( {41{,}7\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}} = 0{,}019\]