Reibung und Fortbewegung

Grundwissen

Viskose Reibung

Das Wichtigste auf einen Blick

Viskose Reibung beschreibt die Reibung eines Körpers bei der Bewegung in einer Flüssigkeit (oder einem Gas).
Mathematisch kann die viskose Reibung gut für Kugeln beschrieben werden.
Es gilt \(F_{\rm{VR}}=6\cdot \pi\cdot r\cdot \eta\cdot v\), wobei \(\eta\) die dynamische Viskosität der Flüssigkeit ist \(r\) der Radius der Kugel und \(v\) ihre Geschwindigkeit.

In der folgenden Animation siehst du eine Kugel, die in einer Flüssigkeit ruht. Alle folgenden Aussagen treffen nämlich nur für eine Kugel und nicht für andere Körper zu. Du kannst links oben die Flüssigkeit auswählen. Das schwarze Kreuz innerhalb der Kugel markiert ihren Schwerpunkt.

Wirkende Kräfte

Wenn du die Animation mit dem Knopf unten startest, so bewegt sich die Kugel mit konstanter Geschwindigkeit \(\vec v\) nach rechts durch die Flüssigkeit. Den Betrag \(v\) der Geschwindigkeit kannst du mit dem Schieberegler in gewissen Grenzen verändern. Im gleichen Augenblick erscheint die sogenannte viskose Reibung(skraft) \(\vec F_{\rm{VR}}\), die entgegen der Bewegungsrichtung wirkt. Der Betrag \(F_{\rm{VR}}\) der viskosen Reibung(skraft) wird links angezeigt.

Damit die Kugel nicht durch die viskose Reibung(skraft) abgebremst wird, sondern sich mit konstanter Geschwindigkeit durch die Flüssigkeit weiterbewegt, ist eine Zugkraft \(\vec F_{\rm{Z}}\) notwendig. Diese Zugkraft muss in Bewegungsrichtung gerichtet sein und den gleichen Betrag wie die viskose Reibung(skraft) haben. In der Animation wird die Zugkraft automatisch der viskosen Reibung(skraft) angepasst.

Flüssigkeit

F_N

F_RR

Auswertung

Abb. 1 Phänomen der viskosen Reibung. Es lassen sich verschiedene Flüssigkeiten auswählen sowie die Geschwindigkeit in gewissen Grenzen verändern

Zusammenhänge zwischen den Größen

In der Animation kannst du erkennen, dass sich der Betrag \(F_{\rm{VR}}\) der viskosen Reibung(skraft) ändert, wenn du den Betrag \(v\) der Geschwindigkeit oder die Flüssigkeit änderst. Wenn du auf die kleine Checkbox links klickst, wird dir die Auswertung und das Ergebnis der Experimente zur viskosen Reibung angezeigt.

Die Animation und die Experimente zeigen dir folgende Sachverhalte:

Eigenschaften der viskosen Reibung(skraft)

Wenn

sich eine Kugel relativ zu einer Flüssigkeit bewegt

dann wirkt auf diese Kugel eine Kraft, die sogenannte viskose Reibung(skraft) \(\vec F_{\rm{VR}}\). Es gilt:

Die viskose Reibung(skraft) \(\vec F_{\rm{VR}}\) wirkt immer entgegen der Bewegungsrichtung des Körpers.
Der Betrag \(F_{\rm{VR}}\) der viskosen Reibung(skraft) verändert sich in Abhängigkeit vom Betrag \(v\) der Geschwindigkeit und der Flüssigkeit. Der Betrag der viskosen Reibung(skraft) ist weiter - was in der Animation nicht dargestellt wird - abhängig vom Radius \(r\) der Kugel.

Die Auswertung der entsprechender Experimente ergibt:

Der Betrag \(F_{\rm{VR}}\) der viskosen Reibung(skraft) ist proportional zum Betrag \(v\) der Geschwindigkeit, zum Radius \(r\) der Kugel und zur sogenannten dynamischen Viskosität \(\eta\) der Flüssigkeit.

Kurz

\[\color{Red}{F_{\rm{VR}}} = 6 \cdot \pi \cdot r \cdot \eta \cdot \color{Blue}{v} \quad(1)\]

Die dynamische Viskosität verschiedener Flüssigkeiten findest du z.B. bei Wikipedia.

Hinweis

Den Effekt innerer Reibung kann man sich vereinfacht durch die Bewegung zweier übereinander liegender, verzahnter Molekülschichten vorstellen. Beim Fließen gleiten die Moleküle aneinander vorbei, und um die Verzahnung zu überwinden, benötigt man eine gewisse Kraft. Den Zusammenhang zwischen dieser Kraft und den Eigenschaften der vorliegenden Flüssigkeit definiert die dynamische Viskosität.

Mathematische Hilfen

Um Aufgaben zur viskosen Reibung zu lösen musst du häufig die Gleichung \({F_{\rm{VR}}} = 6 \cdot \pi \cdot {r} \cdot {\eta} \cdot {v}\) nach einer Größe, die unbekannt ist, auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in der folgenden Animation.

Auflösen von\[{F_{\rm{VR}}} = 6 \cdot \pi \cdot {r} \cdot {\eta} \cdot {v}\]nach ...

Die Gleichung\[{\color{Red}{F_{\rm{VR}}}} = 6 \cdot \pi \cdot {r} \cdot {\eta} \cdot {v}\]ist bereits nach \({\color{Red}{F_{\rm{VR}}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.

Um die Gleichung\[{F_{\rm{VR}}} = 6 \cdot \pi \cdot {\color{Red}{r}} \cdot {\eta} \cdot {v}\]nach \({\color{Red}{r}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:

Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[6 \cdot \pi \cdot {\color{Red}{r}} \cdot {\eta} \cdot {v} = {F_{\rm{VR}}}\]

Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \(6 \cdot \pi \cdot {\eta} \cdot {v}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \(6 \cdot \pi \cdot {\eta} \cdot {v}\) im Nenner steht.
\[\frac{{6 \cdot \pi \cdot {\color{Red}{r}} \cdot {\eta} \cdot {v}}}{6 \cdot \pi \cdot {\eta} \cdot {v}} = \frac{{F_{\rm{VR}}}}{6 \cdot \pi \cdot {\eta} \cdot {v}}\]

Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \(6 \cdot \pi \cdot {\eta} \cdot {v}\).\[{\color{Red}{r}} = \frac{{F_{\rm{VR}}}}{6 \cdot \pi \cdot {\eta} \cdot {v}}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red}{r}}\) aufgelöst.

Um die Gleichung\[{F_{\rm{VR}}} = 6 \cdot \pi \cdot {r} \cdot {\color{Red}{\eta}} \cdot {v}\]nach \({\color{Red}{\eta}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:

Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[6 \cdot \pi \cdot {r} \cdot {\color{Red}{\eta}} \cdot {v} = {F_{\rm{VR}}}\]

Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \(6 \cdot \pi \cdot {r} \cdot {v}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \(6 \cdot \pi \cdot {r} \cdot {v}\) im Nenner steht.
\[\frac{{6 \cdot \pi \cdot {r} \cdot {\color{Red}{\eta}} \cdot {v}}}{6 \cdot \pi \cdot {r} \cdot {v}} = \frac{{F_{\rm{VR}}}}{6 \cdot \pi \cdot {r} \cdot {v}}\]

Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \(6 \cdot \pi \cdot {r} \cdot {v}\).\[{\color{Red}{\eta}} = \frac{{F_{\rm{VR}}}}{6 \cdot \pi \cdot {r} \cdot {v}}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red}{\eta}}\) aufgelöst.

Um die Gleichung\[{F_{\rm{VR}}} = 6 \cdot \pi \cdot {r} \cdot {\eta} \cdot {\color{Red}{v}}\]nach \({\color{Red}{v}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:

Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[6 \cdot \pi \cdot {r} \cdot {\eta} \cdot {\color{Red}{v}} = {F_{\rm{VR}}}\]

Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \(6 \cdot \pi \cdot {r} \cdot {\eta}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \(6 \cdot \pi \cdot {r} \cdot {\eta}\) im Nenner steht.
\[\frac{6 \cdot \pi \cdot {r} \cdot {\eta} \cdot {\color{Red}{v}}}{6 \cdot \pi \cdot {r} \cdot {\eta}} = \frac{{F_{\rm{VR}}}}{6 \cdot \pi \cdot {r} \cdot {\eta}}\]

Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \(6 \cdot \pi \cdot {r} \cdot {\eta}\).\[{\color{Red}{v}} = \frac{{F_{\rm{VR}}}}{6 \cdot \pi \cdot {r} \cdot {\eta}}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red}{v}}\) aufgelöst.

Abb. 2 Schrittweises Auflösen der Formel für die viskose Reibung nach den vier in der Formel auftretenden Größen

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