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Grundwissen

Luftreibung

In der folgenden Animation siehst du einen Körper, der in der Luft ruht. Du kannst links oben die Form des Körpers auswählen. Das schwarze Kreuz innerhalb des Körpers markiert seinen Schwerpunkt.

Kräfte und Größen in der Simulation

Wenn du die Animation mit dem Knopf unten startest, so bewegt sich der Körper mit konstanter Geschwindigkeit \(\vec v\) nach rechts durch die Luft. Den Betrag \(v\) der Geschwindigkeit kannst du mit dem Schieberegler in gewissen Grenzen verändern. Im gleichen Augenblick erscheint die sogenannte Luftwiderstandskraft \(\vec F_{\rm{LR}}\), die entgegen der Bewegungsrichtung wirkt. Der Betrag \(F_{\rm{LR}}\) der Luftwiderstandskraft wird links angezeigt.

Damit der Klotz nicht durch die Luftwiderstandskraft abgebremst wird, sondern mit konstanter Geschwindigkeit weitergleitet, ist eine Zugkraft \(\vec F_{\rm{Z}}\) notwendig. Diese Zugkraft muss in Bewegungsrichtung gerichtet sein und den gleichen Betrag wie die Luftwiderstandskraft haben. In der Animation wird die Zugkraft automatisch der Luftwiderstandskraft angepasst.

Körper
FN
FRR
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
Abb. 1 Phänomen der Luftreibung. Es lassen sich verschiedene Körperformen auswählen sowie die Geschwindigkeit in gewissen Grenzen verändern

Zusammenhänge zwischen den Größen

In der Animation kannst du erkennen, dass sich der Betrag \(F_{\rm{LR}}\) der Luftwiderstandskraft ändert, wenn du den Betrag \(v\) der Geschwindigkeit oder die Form des Körpers änderst. Wenn du auf die kleine Checkbox links klickst, wird dir die Auswertung und das Ergebnis der Experimente zum Luftwiderstand angezeigt.

Eigenschaften der Luftwiderstandskraft und Definition des \(c_{\rm{w}}\)-Wertes

Wenn

  • sich ein Körper relativ zur Luft bewegt

dann wirkt auf diesen Körper eine Kraft, die sogenannte Luftwiderstandskraft \(\vec F_{\rm{LR}}\). Es gilt:

  • Die Luftwiderstandskraft \(\vec F_{\rm{LR}}\) wirkt immer entgegen der Bewegungsrichtung des Körpers.

  • Der Betrag \(F_{\rm{LR}}\) der Luftwiderstandskraft verändert sich in Abhängigkeit vom Betrag \(v\) der Geschwindigkeit und der Form des Körpers. Der Betrag der Luftwiderstandskraft ist weiter - was in der Animation nicht dargestellt wird - abhängig von der Querschnittsfläche \(A\), die der Körper der Luft entgegenstellt und schließlich der Dichte \(\rho_{\rm{Luft}}\) der Luft.

Die Auswertung der entsprechender Experimente ergibt:

  • Der Betrag \(F_{\rm{LR}}\) der Luftwiderstandskraft ist proportional zum Quadrat des Betrags \(v\) der Geschwindigkeit, zur Querschnittsfläche \(A\) und zur Dichte \(\rho_{\rm{Luft}}\) der Luft.

  • Die Proportionalitätskonstante, die man mit dem Buchstaben \(c_{\rm{w}}\) (sprich "c-w") bezeichnet und Luftwiderstandsbeiwert nennt, hängt von der Form des Körpers ab.

  • Schließlich beinhaltet die Formel noch den Faktor \(\frac{1}{2}\); seine Herkunft beruht auf theoretischen Überlegungen, die wir weiter unten kurz vorstellen.

Kurz

\[\color{Red}{F_{\rm{LR}}} = \frac{1}{2} \cdot A \cdot c_{\rm{w}} \cdot \rho_{\rm{Luft}} \cdot \color{Blue}{v}^2 \quad(1)\]

mit dem von der Form des Körpers Luftwiderstandsbeiwert \(c_{\rm{w}}\). Der Luftwiderstandsbeiwert hat keine Maßeinheit, man sagt er ist "dimensionslos". Die Luftwiderstandsbeiwerte für verschiedene Formen von Körpern findest du z.B. bei Wikipedia.

Mathematische Herleitung (für Interessierte)

Im Folgenden soll anhand eines einfachen Modells eines Radfahrers gezeigt werden, wie man mit einer energetischen Überlegung auf die Formel \((1)\) kommt.

Mathematische Hilfen

Um Aufgaben zur Luftreibung zu lösen musst du häufig die Gleichung \({F_{\rm{LR}}} = {\frac{1}{2}} \cdot {A} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot {\rho_{\rm{Luft}}} \cdot {v}^2\) nach einer Größe, die unbekannt ist, auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in der folgenden Animation.

Die Gleichung\[\color{Red}{F_{\rm{LR}}} = {\frac{1}{2}} \cdot {A} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot {\rho_{\rm{Luft}}} \cdot {v}^2\]ist bereits nach \(\color{Red}{F_{\rm{LR}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die Gleichung\[{F_{\rm{LR}}} = {\frac{1}{2}} \cdot \color{Red}{A} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot {\rho_{\rm{Luft}}} \cdot {v}^2\]nach \(\color{Red}{A}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{\frac{1}{2}} \cdot \color{Red}{A} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot {\rho_{\rm{Luft}}} \cdot {v}^2 = {F_{\rm{LR}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot {\rho_{\rm{Luft}}} \cdot {v}^2\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({\frac{1}{2}} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot {\rho_{\rm{Luft}}} \cdot {v}^2\) im Nenner steht.
\[\frac{{{\frac{1}{2}} \cdot \color{Red}{A} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot {\rho_{\rm{Luft}}} \cdot {v}^2}}{{\frac{1}{2}} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot {\rho_{\rm{Luft}}} \cdot {v}^2} = \frac{{F_{\rm{LR}}}}{{\frac{1}{2}} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot {\rho_{\rm{Luft}}} \cdot {v}^2}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot {\rho_{\rm{Luft}}} \cdot {v}^2\).\[\color{Red}{A} = \frac{{F_{\rm{LR}}}}{{\frac{1}{2}} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot {\rho_{\rm{Luft}}} \cdot {v}^2}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{A}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{F_{\rm{LR}}} = {\frac{1}{2}} \cdot {A} \cdot \color{Red}{c_{\rm{W}}} \cdot {\rho_{\rm{Luft}}} \cdot {v}^2\]nach \(\color{Red}{c_{\rm{W}}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{\frac{1}{2}} \cdot {A} \cdot \color{Red}{c_{\rm{W}}} \cdot {\rho_{\rm{Luft}}} \cdot {v}^2 = {F_{\rm{LR}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {A} \cdot {\rho_{\rm{Luft}}} \cdot {v}^2\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({\frac{1}{2}} \cdot {A} \cdot {\rho_{\rm{Luft}}} \cdot {v}^2\) im Nenner steht.
\[\frac{{{\frac{1}{2}} \cdot {A} \cdot \color{Red}{c_{\rm{W}}} \cdot {\rho_{\rm{Luft}}} \cdot {v}^2}}{{\frac{1}{2}} \cdot {A} \cdot {\rho_{\rm{Luft}}} \cdot {v}^2} = \frac{{F_{\rm{LR}}}}{{\frac{1}{2}} \cdot {A} \cdot {\rho_{\rm{Luft}}} \cdot {v}^2}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {A} \cdot {\rho_{\rm{Luft}}} \cdot {v}^2\).\[\color{Red}{c_{\rm{W}}} = \frac{{F_{\rm{LR}}}}{{\frac{1}{2}} \cdot {A} \cdot {\rho_{\rm{Luft}}} \cdot {v}^2}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{c_{\rm{W}}}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{F_{\rm{LR}}} = {\frac{1}{2}} \cdot {A} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot \color{Red}{\rho_{\rm{Luft}}} \cdot {v}^2\]nach \(\color{Red}{\rho_{\rm{Luft}}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{\frac{1}{2}} \cdot {A} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot \color{Red}{\rho_{\rm{Luft}}} \cdot {v}^2 = {F_{\rm{LR}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {A} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot {v}^2\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({\frac{1}{2}} \cdot {A} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot {v}^2\) im Nenner steht.
\[\frac{{{\frac{1}{2}} \cdot {A} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot \color{Red}{\rho_{\rm{Luft}}} \cdot {v}^2}}{{\frac{1}{2}} \cdot {A} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot {v}^2} = \frac{{F_{\rm{LR}}}}{{\frac{1}{2}} \cdot {A} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot {v}^2}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {A} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot {v}^2\).\[\color{Red}{\rho_{\rm{Luft}}} = \frac{{F_{\rm{LR}}}}{{\frac{1}{2}} \cdot {A} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot {v}^2}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{\rho_{\rm{Luft}}}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{F_{\rm{LR}}} = {\frac{1}{2}} \cdot {A} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot {\rho_{\rm{Luft}}} \cdot \color{Red}{v}^2\]nach \(\color{Red}{v}\) aufzulösen, musst du vier Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{\frac{1}{2}} \cdot {A} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot {\rho_{\rm{Luft}}} \cdot \color{Red}{v}^2 = {F_{\rm{LR}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {A} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot {\rho_{\rm{Luft}}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({\frac{1}{2}} \cdot {A} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot {\rho_{\rm{Luft}}}\) im Nenner steht.
\[\frac{{\frac{1}{2}} \cdot {A} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot {\rho_{\rm{Luft}}} \cdot \color{Red}{v}^2}{{\frac{1}{2}} \cdot {A} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot {\rho_{\rm{Luft}}}} = \frac{{F_{\rm{LR}}}}{{\frac{1}{2}} \cdot {A} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot {\rho_{\rm{Luft}}}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({\frac{1}{2}} \cdot {A} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot {\rho_{\rm{Luft}}}\).\[\color{Red}{v}^2 = \frac{{F_{\rm{LR}}}}{{\frac{1}{2}} \cdot {A} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot {\rho_{\rm{Luft}}}}\]
Ziehe auf beiden Seiten der Gleichung die Quadratwurzel.\[\color{Red}{v} = \sqrt{\frac{{F_{\rm{LR}}}}{{\frac{1}{2}} \cdot {A} \cdot {c_{\rm{W}}} \cdot {\rho_{\rm{Luft}}}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{v}\) aufgelöst.
Abb. 2 Schrittweises Auflösen der Formel für die Luftreibung nach den fünf in der Formel auftretenden Größen