Der Schrägaufzug zur Schattenbergschanze in Oberstdorf (Abb. 1 und 2) hat eine mittlere Steigung von \(30^\circ\) und eine maximale Steigung von \(78^\circ\). Der Kabinenboden wird bei der Fahrt stets waagerecht gehalten. Er fasst \(10\) Personen à \(80\,\rm{kg}\), sein Eigengewicht ist \(1200\,\rm{kg}\).
Bestimme die Zugkraft des Seils, wenn der voll beladene Aufzug am Aufsprunghügel mit seiner Steigung von \(39^\circ\) trotz einer Reibungszahl von \(0{,}08\) mit einer für solche Bahnen typischen Beschleunigung von \(0{,}25\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\) bergauf beschleunigt.
Die Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) mit \(F_{\rm{G}}=m \cdot g\) zerlegt man mittels eines Kräfteparallelogramms (hier ein Rechteck) in die Komponente \({\vec F_\parallel }\) parallel zum Hang (Hangabtriebskraft \(\vec F_{\rm{HA}}\)) mit \(F_\parallel = F_{\rm{HA}} = m \cdot g \cdot \sin\left(\alpha\right)\;(1)\) und die Komponente \(\vec F_\bot\) senkrecht zum Hang mit \( F_ \bot = m \cdot g \cdot \cos\left(\alpha\right)\).
Die Komponente \({\vec F_ \bot }\) senkrecht zum Hang wird kompensiert durch die gegengleiche Normalkraft \({\vec F_{\rm{N}} }\), so dass im Ruhezustand nur die Hangabtriebskraft \(\vec F_{\rm{HA}}\) wirkt.
Zieht man nun mit der Zugkraft \( F_{\rm{Z}} \), so wirkt zusätzlich eine der Bewegung entgegengerichtete Reibungskraft \( \vec F_{\rm{R}} \) mit \( F_{\rm{R}} = \mu \cdot \vec F_\bot = \mu \cdot m \cdot g \cdot \cos\left(\alpha\right)\;(2)\).
Fasst man zusammen, so gilt nach dem 2. NEWTONschen Gesetz\[\begin{eqnarray}m \cdot a &=& F_{\rm{res}} = F_{\rm{Z}} - F_{\rm{HA}} - F_{\rm{R}}\\F_{\rm{Z}} &=& F_{\rm{HA}} + F_{\rm{R}} + m \cdot a\end{eqnarray}\]Nutzt man die obigen Beziehungen \((1)\) und \((2)\), so erhält man\[\begin{eqnarray}F_{\rm{Z}} &=& m \cdot g \cdot \sin \left( \alpha \right) + \mu \cdot m \cdot g \cdot \cos \left( \alpha \right) + m \cdot a\\ &=& m \cdot \left[ g \cdot \sin \left( \alpha \right) + \mu \cdot g \cdot \cos \left( \alpha \right) + a \right]\end{eqnarray}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[F_{\rm{Z}} = 2000\,\rm{kg} \cdot \left[9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2} \cdot \sin \left( 39^\circ \right) + 0{,}08 \cdot 9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2} \cdot \cos \left( 39^\circ \right)+0{,}25\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2} \right]=14\,\rm{kN}\]
