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Ausblick

Freier Fall (Modellbildung)

Modelldiagramm

Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Modelldiagramm zur Simulation eines freien Falls

In Abb. 1 siehst du das Modelldiagramm zur Simulation eines freien Falls.

Um die Bewegung zu beschreiben nutzen wir eine nach oben gerichtete Ortsache mit dem Ursprung auf der Erdoberfläche.

Der fallende Körper soll zum Zeitpunkt \(t_0 = 0\) eine Anfangshöhe \(y_0 > 0\) und die Anfangsgeschwindigkeit \(v_0 = 0\) haben.

Wirkende Kräfte

Auf einen frei fallenden Körper wirkt nur eine einzige Kraft: seine Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\). Deren Betrag berechnet sich aus der Masse \(m\) des Körpers und dem Ortsfaktor \(g\) durch \(m \cdot g\). Da die Gewichtskraft zum Erdboden und damit entgegen der Orientierung der Orsachse gerichtet ist, gilt hier \(F_{\rm{G}} = - m \cdot g\).

Bewegte Masse

Beim freien Fall eines Körpers ändert sich normalerweise seine Masse nicht. Deshalb bleibt die Masse \(m\) konstant.

Kinematik

Die Beschleunigung \(a\) des Körpers berechnen wir nach dem 2. NEWTON'schen Axiom durch \(a = \frac{F_{\rm{G}}}{m}\) und damit nach der Methode der kleinen Schritte die Werte von Geschwindigkeit \(v\) und Ort \(y\).

Programmierung

Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Zentrale Programmzeilen eines JavaScript-Programms zur Simulation eines freien Falls
In Abb. 2 siehst du die zentralen Programmzeilen eines JavaScript-Programms zur Simulation eines freien Falls.

Wir setzen in diesem Beispiel \(dt = 0{,}01\,\rm{s}\), die Masse soll \(m=1{,}0\,\rm{kg}\) und die Anfangshöhe \(y_0 = 10{,}0\,\rm{m}\) betragen.

Das Tabellenblatt führt die Simulation durch und stellt das \(t\)-\(y\)- und das \(t\)-\(v\)-Diagramm dar.

Aufgabe

Bestätige mit Hilfe einer Simulation des freien Falls die Gültigkeit der Formel \({t_{\rm{F}}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot {y_0}}}{g}}\) für \(y_0=10{,}0\,\rm{m}\).

Lösung

Mit \(y_0=10{,}0\,\rm{m}\) und \(g = 9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\) ergibt sich\[{t_{\rm{F}}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot {y_0}}}{g}}  \Rightarrow {t_{\rm{F}}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot 10{,}0\,{\rm{m}}}}{{9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}}}  = 1{,}43\,{\rm{s}}\]Die Simulation liefert für \(t=1{,}43\,{\rm{s}}\) \(y = 0{,}04\,{\rm{m}}\) und für \(t=1{,}44\,{\rm{s}}\) \(y = -0{,}10\,{\rm{m}}\), was im Rahmen der Rechengenauigkeit der Simulation die Gültigkeit der Formel bestätigt.