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Grundwissen

Freier Fall

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Beim Freien Fall wirkt auf einen Körper nur seine Gewichtskraft \({\vec F_{\rm{G}}}\).
  • Beim Freien Fall gelten die Bewegungsgesetze der gleichmäßig-beschleunigten Bewegung mit \(a=g\).
  • Die Fallzeit aus der Höhe \(y_0\) beträgt \({t_{\rm{F}}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot {y_0}}}{g}}\)
Aufgaben Aufgaben
Justus Sustermans [Public domain], via Wikimedia Commons
Abb. 1 Galileo GALILEI (1564 - 1642); von Justus Sustermans

Wirkt auf einen Körper nur die Gewichtskraft \({\vec F_{\rm{G}}}\), so bewirkt diese Kraft eine geradlinige, konstant beschleunigte Bewegung in Richtung auf den Erdmittelpunkt zu. Diese Bewegung nennt man in der Physik den Freien Fall.

Die von der Gewichtskraft bewirkte Beschleunigung \(\vec a\) hat überall auf der Erdoberfläche in etwa den gleichen Betrag von \(9{,}8\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\). In Würdigung der Verdienste von Galileo GALILEI um diese Erkenntnis wird diese besondere Beschleunigung mit "\(g\)" bezeichnet.

Da auf alle Körper im freien Fall eine gleich große Beschleunigung wirkt, fallen alle Körper gleich schnell. Etwas genauer müsstest du sagen: "Bei fehlender Reibung und bei ausschließlichem Wirken der Gewichtskraft erfahren alle Körper (unabhängig von ihrer Masse) die gleiche Beschleunigung und führen daher identische Bewegungen aus."

Wichtig: Beim Freien Fall hat der Körper keine Anfangsgeschwindigkeit. Der Körper wird also einfach fallen gelassen - nicht geworfen.

Zeit-Orts-, Zeit-Geschwindigkeits- und Zeit-Beschleunigungs-Diagramme

Die folgende Animation stellt den zeitlichen Verlauf eines Freien Falls dar. Auf der linken Seite sind die Bewegungsgleichungen für den Freien Fall und die dazugehörigen Diagramme für den Fall dargestellt, dass die Ortsachse (y-Achse) nach oben orientiert ist - der Freie Fall startet hier in der Höhe \(y(0)=y_0\).

Auf der rechten Seite ist die gleiche Bewegung mit einer nach unten orientierten Ortsachse (y-Achse) dargestellt. Hier beginnt der Freie Fall bei \(y(0)=0\).

Abb. 2 Freier Fall eines Körpers und die dazugehörigen Zeit-Orts-, Zeit-Geschwindigkeits- und Zeit-Beschleunigungsgraphen in verschiedenen Koordinatensystemen
Bewegungsgesetze des Freien Falls

Für den Freien Fall eines Körpers, d.h. die Bewegung des Körpers unter alleinigem Einfluss der Erdanziehungskraft (und ohne Anfangsgeschwindigkeit) gelten die folgenden Bewegungsgesetze:

Tab. 1 Bewegungsgesetze des Freien Falls
  Ortsachse nach oben orientiert
Anfangsort \(y(0)=y_0\)
Ortsachse nach unten orientiert
Anfangsort \(y(0)=0\)
Zeit-Ort-Gesetz \[{y(t) = - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2}}+{y_0}\] \[{y(t) = \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2}}\]
Zeit-Geschwindigkeit-Gesetz \[{{v_y}(t) =  - g \cdot t}\] \[{{v_y}(t) = g \cdot t}\]
Zeit-Beschleunigung-Gesetz \[{{a_y}(t) = - g}\] \[{{a_y}(t) = g}\]
Ort-Geschwindigkeit-Gesetz \[{{v_y}(t)}^2 = 2 \cdot g \cdot \left( {{y_0} - y(t)} \right)\] \[{{v_y}(t)}^2 = 2 \cdot g \cdot y(t)\]

Für die Fallzeit \({t_{\rm{F}}}\) (das ist die Zeitspanne vom Loslassen des Körpers bis zu dessen Auftreffen auf dem Boden) gilt\[{t_{\rm{F}}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot {y_0}}}{g}} \]

Aufgabe

Zeige für die Beschreibung des Freien Falls mit einer nach oben orientierten Ortsachse, dass sich die Fallzeit (das ist die Zeitspanne vom Loslassen des Körpers bis zu dessen Auftreffen auf dem Boden) \({t_{\rm{F}}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot {y_0}}}{g}} \) ergibt.

Lösung

Die Fallzeit \(t_{\rm{F}}\) erhält man durch die Bedingung, dass beim Auftreffen auf den Boden gilt \( y(t_{\rm{F}}) = 0 \). Somit ergibt sich aus dem Zeit-Ort-Gesetz\[0 = {y_0} - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t_{\rm{F}}}^2 \Leftrightarrow {t_{\rm{F}}}^2 = \frac{{2 \cdot {y_0}}}{g} \Rightarrow {t_{\rm{F}}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot {y_0}}}{g}} \]

Hinweis: Die folgende Aufgabe hat einen höheren mathematischen Anspruch.

Aufgabe

Aus der Kombination von Zeit-Ort-Gesetz und Zeit-Geschwindigkeit-Gesetz kann man durch Elimination der Zeit eine Beziehung zwischen der Geschwindigkeit und dem Ort, ein sogenanntes Ort-Geschwindigkeit-Gesetz erhalten.

Zeige, dass sich bei der Beschreibung des Freien Falls mit einer nach oben orientierten Ortsachse das Ort-Geschwindigkeit-Gesetz\[v_y^2 = 2 \cdot g \cdot \left( {{y_0} - y} \right)\]ergibt.

 

Lösung

Aus\[\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{y = {y_0} - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2}}\\{{v_y} =  - g \cdot t \Leftrightarrow t =  - \frac{{{v_y}}}{g}}\end{array}} \right\} \Rightarrow y = {y_0} - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {\left( { - \frac{{{v_y}}}{g}} \right)^2}\]ergibt sich durch Ausquadrieren und Zusammenfassen der rechten Seite der Gleichung\[y = {y_0} - \frac{1}{2} \cdot g \cdot \frac{{v_y^2}}{{{g^2}}} \Leftrightarrow y = {y_0} - \frac{{v_y^2}}{{2 \cdot g}}\]und nach Umstellen der Gleichung schließlich\[\frac{{v_y^2}}{{2 \cdot g}} = {y_0} - y \Leftrightarrow v_y^2 = 2 \cdot g \cdot \left( {{y_0} - y} \right)\]

Zeige, dass sich bei der Beschreibung des Freien Falls mit einer nach unten orientierten Ortsachse das Ort-Geschwindigkeit-Gesetz\[v_y^2 = 2 \cdot g \cdot y\]ergibt.

Lösung

Aus\[\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{y = \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2}}\\{{v_y} = g \cdot t \Leftrightarrow t = \frac{{{v_y}}}{g}}\end{array}} \right\} \Rightarrow y = \frac{1}{2} \cdot g \cdot {\left( {\frac{{{v_y}}}{g}} \right)^2}\]ergibt sich durch Ausquadrieren und Zusammenfassen der rechten Seite der Gleichung\[y = \frac{1}{2} \cdot g \cdot \frac{{v_y^2}}{{{g^2}}} \Leftrightarrow y = \frac{{v_y^2}}{{2 \cdot g}}\]und nach Umstellen der Gleichung schließlich\[v_y^2 = 2 \cdot g \cdot y\]

Masse hat keinen Einfluss auf die Fallbewegung

Häufig denkt man, dass ein Körper mit einer größeren Masse (Körper A), der dann auch eine größere Gewichtskraft hat, eine höhere Beschleunigung erfahren müsste, als ein Körper mit geringerer Masse (Körper B). Dies ist aber nicht so! Körper A erfährt zwar eine größere beschleunigende Kraft als Körper B. Jedoch hat Körper A auch eine größere träge Masse als Körper B, so dass sich nach dem Kraftgesetz von NEWTON beim Freien Fall für beide Körper die gleiche Beschleunigung ergibt.