Wenn du die Animation in Abb. 1 startest, so wird ein Körper aus einer Anfangshöhe \(h\) "einfach losgelassen". Der Körper bewegt sich nach unten und trifft nach einiger Zeit auf dem Erdboden auf. Wir nennen diese Bewegung einen Freien Fall.
In der Animation kannst du dir folgende Informationen einblenden lassen:
- Eine Stroboskopaufnahme des Freien Falls mit laufender Uhr, die beim Loslassen des Körpers startet und beim Aufprall auf den Erdboden stoppt.
- Eine nach oben orientierte Ortsachse (\(y\)-Achse) mit dem Nullpunkt auf dem Erdboden direkt unterhalb der Abwurfstelle.
- Einige wichtige Größen wie die Anfangshöhe \(h\) und die Fallzeit \(t_{\rm{F}}\).
- Das \(t\)-\(y\)-, das \(t\)-\(v_y\)- oder das \(t\)-\(a_y\)- Diagramm des Freien Falls.
Bewegungsgesetze des Freien Falls
Wir beschreiben den Freien Fall mit einer nach oben orientierten Ortsachse (\(y\)-Achse) mit dem Nullpunkt auf dem Erdboden (vgl. Abb. 1). In diesem Koordinatensystem gilt:
- Die Anfangshöhe hat einen positiven Wert: \(h>0\).
- Die Beschleunigung ist während des gesamten Wurfs nach unten gerichtet und hat den Wert \(a_y = -\,g\) mit \(g= 9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\).
| Zeit-Ort-Gesetz | Zeit-Geschwindigkeit-Gesetz | |
|---|---|---|
|
\(y\)-Richtung Gleichmäßig beschleunigte Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit mit \(a_y = -\,g = -\,9{,}81\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\) |
\[y(t) = - {\textstyle{1 \over 2}}\cdot g \cdot t^2 + h \quad (1)\] |
\[v_y(t) = \frac{\;}{\;}\,g \cdot t \quad (2)\] |
Mit Hilfe der Bewegungsgesetze \((1)\) und \((2)\) kann man zu jedem Zeitpunkt \(t\) die Ortskoordinate \(y\) und die Geschwindigkeit \(v_y\) des Körpers bestimmen.
Die Erdbeschleunigung \(g\)
Der erste Wissenschaftler, der den Freien Fall genauer untersuchte - der Legende nach am Schiefen Turm von Pisa - war der italienische Physiker Galileo GALILEI (1564 - 1641).
GALILEI entdeckte, dass ohne Reibung alle Körper unabhängig von ihrer Masse beim Freien Fall die gleiche Bewegung ausführen und dabei die gleiche Beschleunigung erfahren. Diese Beschleunigung hat überall auf der Erdoberfläche in etwa den gleichen Betrag von \(9{,}8\,\frac{\rm{m}}{{\rm{s}}^2}\). In Würdigung der Verdienste von Galileo GALILEI um diese Erkenntnis wird diese besondere Erdbeschleunigung mit dem Formelbuchstaben "\(g\)" bezeichnet.
Der Wert der Erdbeschleunigung in Mitteleuropa beträgt ca. \(9{,}81\,\frac{\rm{m}}{{\rm{s}}^2}\). In Aufgaben wird meistens mit diesem Wert gerechnet.
Fallzeit
Als Fallzeit \(t_{\rm{F}}\) bezeichnen wir die Zeitspanne vom Loslassen des Körpers bis zum Auftreffen auf den Boden.
Nach der Fallzeit, d.h. zu dem Zeitpunkt \(t_{\rm{F}}\), an dem der Körper auf dem Boden auftrifft, ist seine Ortskoordinate \(0\). Es gilt deshalb\[y(t_{\rm{F}})=0 \quad(3^{**})\]Mit Gleichung \((1)\) ergibt sich daraus\[- {\textstyle{1 \over 2}}\cdot g \cdot {t_{\rm{F}}}^2+ h=0 \quad (3^*)\]Löst man Gleichung \((3^*)\) nach \(t_{\rm{F}}\) auf, so ergibt sich für die Fallzeit\[t_{\rm{F}} = \sqrt {\frac{2 \cdot h}{g}} \quad (3)\]
Berechnung der Fallzeit
Aufgabe
In der Animation in Abb. 1 beträgt die Anfangshöhe \(h=125\,\rm{m}\) und \(g=10{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\).
Berechne aus diesen Angaben die Fallzeit \(t_{\rm{F}}\).
Herleitung des Ort-Geschwindigkeit-Gesetzes (höherer mathematischer Anspruch)
Aufgabe
Aus der Kombination von Zeit-Ort-Gesetz \((1)\) und Zeit-Geschwindigkeit-Gesetz \((2)\) kann man durch Elimination der Zeit eine Beziehung zwischen dem Ort und der Geschwindigkeit, ein sogenanntes Ort-Geschwindigkeit-Gesetz erhalten.
Zeige, dass sich bei der Beschreibung des Freien Falls das folgende Ort-Geschwindigkeit-Gesetz ergibt:\[v_y^2 = 2 \cdot g \cdot \left( {h - y} \right) \quad (4)\]Da beim Freien Fall \(v_y\) stets negativ ist, lässt sich aus Gleichung \((4)\) folgern\[v_y = - \sqrt {2 \cdot g \cdot \left( {h - y} \right)} \quad (4^*)\]
In der Animation in Abb. 1 beträgt die Anfangshöhe \(h=125\,\rm{m}\) und \(g=10{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\).
Berechne aus diesen Angaben die Geschwindigkeit des Körpers beim Aufprall auf den Boden.