Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)Die Kernreaktionsgleichung lautet \[{}_{94}^{238}{\rm{Pu}} \to {}_{92}^{234}{\rm{U}} + {}_2^4{\rm{He}}\] Das Tochterelement Uran gehört zur Uran-Radium-Reihe (\(4n+2\)) und hat eine Halbwertszeit von \(2{,}5 \cdot {10^5}\) Jahren, während das Ausgangselement Plutonium nur eine Halbwertszeit von \(87{,}7\) Jahren hat.
Da \({T_{1/2}}\left( {{}_{94}^{238}{\rm{U}}} \right) \gg {T_{1/2}}\left( {{}_{92}^{234}{\rm{Pu}}} \right)\), ist die Aktivität der Tochternuklide klein. Die Zerfälle, die nach \({{}_{}^{238}{\rm{U}}}\) folgen, spielen während der Mission von Cassini keine Rolle.
b)Da die elektrische Leistung proportional zur Aktivität ist, lässt sich die folgende Proportion aufstellen: \[\frac{{{P_{{\rm{el}}}}(t)}}{{{P_0}}} = \frac{{A(t)}}{{{A_0}}} = \frac{{\lambda \cdot N(t)}}{{\lambda \cdot {N_0}}} = \frac{{N(t)}}{{{N_0}}} = \frac{{{N_0} \cdot {e^{ - \lambda \cdot t}}}}{{{N_0}}} = {e^{ - \lambda \cdot t}}\] Unter Benutzung von \(\lambda = \frac{{\ln \left( 2 \right)}}{{{T_{1/2}}}}\) ergibt sich \[{P_{{\rm{el}}}}(t) = {P_0} \cdot {e^{ - \lambda \cdot t}} = {P_0} \cdot {e^{ - \frac{{\ln \left( 2 \right)}}{{{T_{1/2}}}} \cdot t}}\] Mit \(t=6{,}71\,\rm{a}\) ergibt sich \[{P_{{\rm{el}}}}(6{,}71\,{\rm{a}}) = {P_0} \cdot {e^{ - \frac{{\ln \left( 2 \right)}}{{87{,}7\,{\rm{a}}}} \cdot 6{,}71\,{\rm{a}}}} = {P_0} \cdot 0{,}948\] Nach \(6{,}71\,\rm{a}\) beträgt die elektrische Leistung also noch \(94,8\%\) der Anfangsleistung. Sie hat also um \(5{,}2\%\) abgenommen.
c)Bei jedem α-Zerfall erhält der Tochterkern eine Rückstoßenergie, die sich mit dem Impulssatz und der klassischen Energie-Impuls-Beziehung berechnen lässt. Geht man wieder davon aus, dass der Gesamtimpuls vor dem Zerfall Null war, so müssen die Impulse von Tochterkern und α-Teilchen nach dem Zerfall gegengleich sein:
\[{p_\alpha } = {p_{\rm{U}}}\quad(1)\] Mit der klassischen Energie-Impulsbeziehung und \((1)\) drückt man nun die kinetische Rückstoßenergie \({E_{{\rm{kin,U}}}}\) des Urans durch die kinetische Energie \({E_{{\rm{kin,\alpha}}}}\) des Alphateilchens aus: \[{E_{{\rm{kin}}{\rm{,U}}}} = \frac{{{p_{\rm{U}}}^2}}{{2 \cdot {m_{\rm{U}}}}}\mathop = \frac{{{p_{\rm{\alpha }}}^2}}{{2 \cdot {m_{\rm{U}}}}}\quad(2)\] \[{E_{{\rm{kin}}{\rm{,\alpha }}}} = \frac{{{p_\alpha }^2}}{{2 \cdot {m_\alpha }}} \Leftrightarrow {p_\alpha }^2 = 2 \cdot {m_\alpha } \cdot {E_{{\rm{kin}}{\rm{,\alpha }}}}\quad(3)\] Einsetzen von \((3)\) in \((2)\) liefert \[{E_{{\rm{kin}}{\rm{,U}}}} = \frac{{2 \cdot {m_\alpha } \cdot {E_{{\rm{kin}}{\rm{,\alpha }}}}}}{{2 \cdot {m_{\rm{U}}}}} = \frac{{{m_\alpha } \cdot {E_{{\rm{kin}}{\rm{,\alpha }}}}}}{{{m_{\rm{U}}}}}\] Einsetzen der gegebenen Werte liefert \[{E_{{\rm{kin}}{\rm{,U}}{\rm{,1}}}} = \frac{{4{,}00u \cdot 5{,}499\,{\rm{MeV}}}}{{234u}} = 0{,}094\,{\rm{MeV}}\;;\;{E_{{\rm{kin}}{\rm{,U}}{\rm{,2}}}} = \frac{{4{,}00u \cdot 5{,}456\,{\rm{MeV}}}}{{234u}} = 0{,}093\,{\rm{MeV}} \] Somit ergibt sich für die Gesamtenergie \[{E_{{\rm{ges}}{\rm{,1}}}} = 5{,}499\,{\rm{MeV}} + 0{,}094\,{\rm{MeV}} > 5{,}593\,{\rm{MeV}}\] \[{E_{{\rm{ges}}{\rm{,2}}}} = 5{,}456\,{\rm{MeV}} + 0{,}093\,{\rm{MeV}} + 0{,}0435\,{\rm{MeV}} > 5{,}593\,{\rm{MeV}}\]
d)Aus der Definition des Wirkungsgrades ergibt sich \[\eta = \frac{{{P_{{\rm{el}},0}}}}{{{P_{{\rm{Wärme}}}}}} \Leftrightarrow {P_{{\rm{Wärme}}}} = \frac{{{P_{{\rm{el}},0}}}}{\eta }\] Einsetzen der gegebenen Werte liefert \[{P_{{\rm{Wärme}}}} = \frac{{870\,{\rm{W}}}}{{0{,}053}} = 16{,}4\,{\rm{kW}}\] Die Wärmeleistung kann auch durch die Zahl der anfänglich vorhandenen Plutoniumatome ausgedrückt werden: \[{P_{{\rm{Wärme}}}} = {A_0} \cdot {E_{{\rm{ges}}}} = \lambda \cdot {N_0} \cdot {E_{{\rm{ges}}}} = \frac{{\ln \left( 2 \right)}}{{{T_{1/2}}}} \cdot {N_0} \cdot {E_{{\rm{ges}}}}\] Auflösen nach \(N_0\) und Einsetzen der gegebenen Werte ergibt \[{N_0} = \frac{{{P_{{\rm{Wärme}}}} \cdot {T_{1/2}}}}{{\ln \left( 2 \right) \cdot {E_{{\rm{ges}}}}}} \Rightarrow {N_0} = \frac{{16{,}4 \cdot {{10}^3}{\rm{W}} \cdot 87{,}7 \cdot 365 \cdot 24 \cdot 3600\,{\rm{s}}}}{{\ln \left( 2 \right) \cdot 5{,}593 \cdot {{10}^6} \cdot 1{,}602 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot {\rm{V}}}} = 7{,}30 \cdot {10^{25}}\] Für die Masse \(m\) des Plutoniumdioxids gilt dann \[m = {N_0} \cdot \left( {238u + 2 \cdot 16u} \right) = 7{,}30 \cdot {10^{25}} \cdot 270 \cdot 1{,}66 \cdot {10^{ - 27}}\,{\rm{kg}} = 32{,}7\,{\rm{kg}}\]
