a)Berechnung der Zahl der eingespritzten Kerne:
\[N = \frac{m}{{{m_{\rm{A}}}\left( {{}_{11}^{24}Na} \right)}} \Rightarrow N = \frac{{2{,}0 \cdot {{10}^{ - 13}}\,{\rm{kg}}}}{{24 \cdot 1{,}66 \cdot {{10}^{ - 27}}\,{\rm{kg}}}} = 5{,}0 \cdot {10^{12}}\]
Berechnung der Abnahme der Zahl der Kerne in der ersten Sekunde:
\[\Delta N = {N_0} - N(t) = {N_0} - {N_0} \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{{{T_{1/2}}}}}} = {N_0} \cdot \left( {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{\frac{t}{{{T_{1/2}}}}}}} \right)\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[\Delta N = 5{,}0 \cdot {10^{12}} \cdot \left( {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{\frac{{1{\rm{s}}}}{{15 \cdot 3600{\rm{s}}}}}}} \right) = 6{},4 \cdot {10^7}\]
Berechnung der mittleren Aktivität der gesamten Menge in der 1. Sekunde:
\[\bar A = \frac{{\Delta N}}{{\Delta t}} \Rightarrow \bar A = \frac{{6{,}4 \cdot {{10}^7}}}{{1{\rm{s}}}} = 6{,}4 \cdot {10^7}\,{\rm{Bq}}\]
Berechnung der Aktivität der gesamten Menge nach \(6{,}0\) Stunden:
\[A(t) = {A_0} \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{{{T_{1/2}}}}}} \Rightarrow A(t) = 6{,}4 \cdot {10^7}\,{\rm{Bq}} \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{{6{,}0{\rm{h}}}}{{15{\rm{h}}}}}} = 4{,}9 \cdot {10^7}\,{\rm{Bq}}\]
b)Bestimmung des gesamten Blutvolumens \(V\):
\[\frac{V}{15\,\rm{cm}^3} = \frac{{4{,}9 \cdot {{10}^7}\,{\rm{Bq}}}}{{1{,}2 \cdot {{10}^5}\,{\rm{Bq}}}} \Leftrightarrow V = \frac{{4{,}9 \cdot {{10}^7}\,{\rm{Bq}}}}{{1{,}2 \cdot {{10}^5}\,{\rm{Bq}}}} \cdot 15\,\rm{cm}^3 = 6{,}1 \cdot {10^3}\,\rm{cm}^3 = 6{,}1\,\ell \]
