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Aufgabe

Energie einer Gewitterwolke

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Eine Wolke mit der Flächenausdehnung von \(100000\,\rm{m}^2\) befindet sich in der Höhe \(420\,\rm{m}\) über der Erdoberfläche. Zwischen der Wolke und dem Erdboden, die man in grober Näherung beide als geladene Platten eines Plattenkondensators mit Luft als Dielektrikum auffassen kann, besteht ein elektrisches Feld mit der Feldstärke \(2{,}0 \cdot 10^5\,\frac{\rm{V}}{\rm{m}}\).

a)

Berechne die Spannung zwischen Wolke und Erdboden.

b)

Berechne die elektrische Ladung der Wolke.

c)

Berechne die in dem elektrischen Feld zwischen Wolke und Erdboden gespeicherte Energie.

d)

Berechne den Wert dieser Energie, wenn man einen Preis von \(0{,}50\,\frac{{\rm{€}}}{{{\rm{kWh}}}}\) zugrunde legt, für den Energieversorger elektrische Energie liefern.

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a)

Mit \(E=2{,}0 \cdot 10^5\,\frac{\rm{V}}{\rm{m}}\) und \(d=420\,\rm{m}\) ergibt sich\[E = \frac{U}{d} \Leftrightarrow U = E \cdot d \Rightarrow U = 2{,}0 \cdot {10^5}\,\frac{{\rm{V}}}{{\rm{m}}} \cdot 420\,{\rm{m}} = 8{,}4 \cdot {10^7}\,{\rm{V}}\]

b)

Für die elektrische Feldstärke im homogenen Feld eines Plattenkondensators gilt\[E = \frac{1}{{{\varepsilon _0}}} \cdot \frac{Q}{A} \Leftrightarrow Q = E \cdot {\varepsilon _0} \cdot A\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[Q = 2{,}0 \cdot {10^5}\,\frac{{\rm{V}}}{{\rm{m}}} \cdot 8{,}85 \cdot {10^{-12}}\,\frac{{{\rm{A}}\,{\rm{s}}}}{{{\rm{V}}\,{\rm{m}}}} \cdot 100\,000\,{{\rm{m}}^2} = 0{,}18\,{\rm{C}}\]

c)

Für die elektrische Energie eines Kondensators gilt\[{E_{{\rm{el}}}} = \frac{1}{2} \cdot Q \cdot U \Rightarrow {E_{{\rm{el}}}} = \frac{1}{2} \cdot 0{,}18\,{\rm{C}} \cdot 8{},4 \cdot {10^7}\,{\rm{V}} = 7{,}6 \cdot {10^6}\,{\rm{J}}\]

d)

\[1\,{\rm{kWh}} = 1 \cdot {10^3}\,{\rm{W}} \cdot 3600\,{\rm{s}} = 3{,}6 \cdot {10^6}\,{\rm{J}}\]

\[K = 7{,}6 \cdot {10^6}\,{\rm{J}} \cdot 0{,}50 \cdot \frac{€}{{3{,}6 \cdot {{10}^6}\,{\rm{J}}}} = 1{,}1\,\rm{€} \]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Elektrizitätslehre

Kondensator & Kapazität