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Ausblick

Elektromagnetischer Schwingkreis ungedämpft (Theorie)

Das Wichtigste auf einen Blick

Vorbemerkungen

Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Schaltskizze eines ungedämpften elektromagnetischen Schwingkreises

Abb. 1 zeigt dir die Schaltskizze eines Versuchsaufbaus, mit dem eine ungedämpfte elektromagnetische Schwingung demonstriert werden könnte. Beachte aber, dass aufgrund des immer vorhandenen OHMschen Widerstands der Spule dieser Versuch und damit dieser Aufbau unrealistisch ist.

Die Versuchsergebnisse beim gedämpften elektromagnetischen Schwingkreis lassen vermuten, dass die zeitlichen Verläufe der Stromstärke \(I\), der Spannung \(U_C\) über dem Kondensator und der Spannung \(U_L\) über der Spule bei der ungedämpften elektromagnetischen Schwingung durch trigonometrische Funktionen beschreiben werden können. Aus prinzipiellen Gründen kann diese Vermutung aber nicht experimentell, sondern nur durch theoretische Überlegungen bestätigt werden. Diese Überlegungen werden wir in diesem Artikel zeigen.

Um in den späteren Rechnungen keine Schwierigkeiten zu bekommen müssen wir uns zu Beginn sehr genau über die Polung der Messgeräte und damit die Vorzeichen von Stromstärke und Spannungen klar werden. Wir tun dies in zwei Schritten: Zuerst für den Aufladevorgang des Kondensators und darauf aufbauend für den Schwingvorgang.

Aufladen des Kondensators

Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Betrachtung der Polung der Messgeräte in der "Auflademasche"

Beim Aufladen des Kondensators befindet sich der Schalter \(\rm{S}\) in der linken Position, so dass wir nur die linke Masche der Schaltung ("Auflademasche") betrachten müssen.

Die Polung der elektrischen Quelle mit dem "+"-Pol oben und dem "-"-Pol unten legt fest, dass die Messrichtung aller Größen in dieser Masche im Uhrzeigersinn dreht. Dies ist durch den roten Kreispfeil in der Auflademasche gekennzeichnet.

Alle Messgeräte werden nun so geschaltet, dass die Messrichtung von ihrem "+"-Pol zu ihrem "-"-Pol zeigt. Dies ist beim Strommesser und den beiden Spannungsmessern so gekennzeichnet.

Der Spannungsmesser über der elektrischen Quelle wird nun einen negativen Wert anzeigen (\(U_0<0\)), der Strommesser und der Spannungsmesser über dem Kondensator beim Aufladen jeweils positive Werte (\(I>0\) und \(U_C>0\)). Am Ende des Aufladevorgangs ergibt sich \(I=0\,\rm{A}\) und \(U_C=\left| {{U_0}} \right|\), auf der oberen Platte des Kondensators befindet sich die Ladung \(Q_0=+C \cdot \left| {{U_0}} \right|\).

Schwingvorgang

Joachim Herz Stiftung
Abb. 3 Betrachtung der Polung der Messgeräte in der "Schwingmasche"

Beim Schwingen befindet sich der Schalter \(\rm{S}\) in der rechten Position, so dass wir nur die rechte Masche der Schaltung ("Schwingmasche") betrachten müssen.

Die Polung des Strommessers und des Spannungsmessers in der Auflademasche legt nun die Messrichtung in der Schwingmasche fest. Damit der Strommesser und der Spannungsmesser über dem Kondensator weiterhin korrekt gepolt sind, muss die Messrichtung aller Größen in dieser Masche gegen den Uhrzeigersinn drehen. Dies ist durch den roten Kreispfeil in der Schwingmasche gekennzeichnet.

Der Spannungsmesser über der Spule wird nun so geschaltet, dass auch hier die Messrichtung von seinem "+"-Pol zu seinem "-"-Pol zeigt. Dies ist wiederum gekennzeichnet.

Zum Zeitpunkt \(t=0\,\rm{s}\) des Schwingvorgangs wird der Spannungsmesser über dem Kondensator den positiven Wert \(U_C\left(0\,\rm{s}\right)=\left| {{U_0}} \right|\) und der Strommesser den Wert \(I=0\,\rm{A}\) anzeigen, auf der oberen Platte des Kondensators befindet sich die Ladung \(Q_0=+C \cdot \left| {{U_0}} \right|\).

In der ersten Phase des Schwingvorgangs wird der Spannungsmesser über dem Kondensator weiterhin positive Werte anzeigen (\(U_C>0\)). Da der Strom aber zuerst einmal entgegen der Messrichtung fließen wird, werden der Strommesser und der Spannungsmesser über der Spule zuerst negative Werte anzeigen (\(I<0\) und \(U_L<0\)).

Herleitung und Lösung der Schwingungsgleichung

Nach der KIRCHHOFF'schen Maschenregel gilt nun zu jedem Zeitpunkt \(t\) des Schwingvorgangs die Gleichung \[{U_C}(t) + {U_L}(t) = 0\]Wenn wir die bekannten Zusammenhänge

  • \({U_C}(t) = \frac{Q(t)}{C}\) (Kondensatorformel; \(Q(t)\): Ladung auf der oberen Platte des Kondensators während des Schwingvorgangs)

  • \( {U_L}(t) = L \cdot \dot I(t)\) (Spulenformel; \(I(t)\): Stärke des Stroms durch die Spule während des Schwingvorgangs)

  • \(I(t) = \dot Q(t)\) (Definition der elektrischen Stromstärke) und damit \(\dot I(t) = \ddot Q(t)\)

nutzen und in diese Gleichung einsetzen, so erhalten wir\[\frac{Q(t)}{C} + L \cdot \ddot Q(t) = 0\]Dividiert man beide Seiten dieser Gleichung durch \(L\) und vertauscht die Reihenfolge auf der linken Seite der Gleichung, so erhält man\[\ddot Q(t) + \frac{1}{L \cdot C}\cdot Q(t) = 0 \quad(*)\]Dies ist die homogene Differentialgleichung 2.Ordnung für die Ladung \(Q(t)\) auf der oberen Platte des Kondensators während des Schwingvorgangs. Zusätzlich muss die gesuchte Funktion \(Q(t)\) noch die beiden Anfangsbedingungen \(Q_0 = Q(0\,{\rm{s}}) = C \cdot \left| {{U_0}} \right|\) und \(I(0\,{\rm{s}})=\dot Q(0\,{\rm{s}})=0\) erfüllen.

Bemerkungen

  • In der Gleichung \((*)\) kommt die Funktion \(Q(t)\) und mindestens eine ihrer Ableitungen (hier die 2. Ableitung \(\ddot Q(t)\)) vor. Man nennt eine solche Gleichung Differentialgleichung. Da die höchste vorkommende Ableitung hier die 2. Ableitung ist, spricht man von einer Differentialgleichung 2. Ordnung. Schließlich ist die Differentialgleichung homogen, da in der Gleichung \((*)\) nur Summanden mit der Funktion \(Q(t)\) oder einer ihrer Ableitungen vorkommen.

  • Das Finden von Lösungen von Differentialgleichungen gehört zur Hochschul-Mathematik. Wir sind bescheidener und zeigen in der ersten der folgenden Aufgaben lediglich, dass eine angegebene Funktion \(Q(t)\) die Differentialgleichung und ihre Anfangsbedingungen erfüllt.

Ladung auf dem Kondensator
Aufgabe

Weise nach, dass die Funktion \(Q(t) = \hat Q \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\) mit \(\hat Q = C \cdot \left| {{U_0}} \right|\) und \({\omega _0} = \sqrt {\frac{1}{L \cdot C}} \) eine Lösung der Differentialgleichung \((*)\) ist. Leite dazu die Funktion \(Q(t)\) zwei Mal nach der Zeit \(t\) ab, setze \(\ddot Q(t)\) und \(Q(t)\) in die Differentialgleichung ein und fasse so weit zusammen, bis eine wahre Aussage entsteht.

Zeige weiter, dass die Größe \({\omega _0} = \sqrt {\frac{1}{L \cdot C}} \) die Maßeinheit \(\frac{1}{\rm{s}}\) hat.

Lösung

Aus\[Q(t) = \hat Q \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\]erhält man durch Ableiten (Kettenregel)\[\dot Q(t) = \hat Q \cdot \left( { - \sin \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)} \right) \cdot {\omega _0} =  - \hat Q \cdot {\omega _0} \cdot \sin \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\]und durch erneutes Ableiten\[\ddot Q(t) =  - \hat Q \cdot {\omega _0} \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right) \cdot {\omega _0} =  - \hat Q \cdot \omega _0^2 \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\]Ersetzt man in \(Q(t)\) und \(\ddot Q(t)\) wie angegeben \({\omega _0} = \sqrt {\frac{1}{L \cdot C}} \) und setzt \(\ddot Q(t)\) und \(Q(t)\) in die Differentialgleichung ein, so erhält man\[ - \hat Q \cdot \frac{1}{L \cdot C} \cdot \cos \left( {\sqrt {\frac{1}{L \cdot C}} \cdot t} \right) + \frac{1}{L \cdot C} \cdot \hat Q \cdot \cos \left( {\sqrt {\frac{1}{L \cdot C}} \cdot t} \right) = 0\]und durch Ausklammern\[\hat Q \cdot \frac{1}{L \cdot C} \cdot \underbrace {\left(  - \cos \left( \sqrt {\frac{1}{L \cdot C}} \cdot t \right) + \cos \left( \sqrt {\frac{1}{L \cdot C}} \cdot t \right) \right)}_{ =\,0} = 0\]also eine wahre Aussage, was zu zeigen war.\[\left[ {{\omega _0}} \right] = \left[ {\sqrt {\frac{1}{{L \cdot C}}} } \right] = \sqrt {\frac{1}{{{\rm{H}} \cdot {\rm{F}}}}}  = \sqrt {\frac{1}{{\frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{s}}}}{{\rm{A}}} \cdot \frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{\rm{V}}}}}}  = \sqrt {\frac{1}{{{{\rm{s}}^2}}}}  = \frac{1}{{\rm{s}}}\]

 

Zeige, dass die Funktion \(Q(t)\) auch die erste Anfangsbedingung \({Q(0\,\rm{s})} = C \cdot \left| {{U_0}} \right|\) erfüllt.

Lösung

\[Q(0\,{\rm{s}}) = \hat Q \cdot \cos \left( {\sqrt {\frac{1}{L \cdot C}} \cdot 0\,{\rm{s}}} \right) = \hat Q \cdot \underbrace {\cos \left( 0 \right)}_{ = \,1} = \hat Q = C \cdot \left| {{U_0}} \right|\]

Spannung über dem Kondensator
Aufgabe

Zeige mit Hilfe des Zusammenhangs \(U_C =  \frac{Q}{C}\), dass die Funktion \(U_C(t) =  \hat U_C \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\) mit \(\hat U_C = \left|U_0\right|\) den zeitlichen Verlauf der Spannung über dem Kondensator während der Schwingung beschreibt.

Lösung

\[U_C =  \frac{Q}{C} =  \frac{\hat Q \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)}{C} =  \frac{\hat Q}{C} \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\]und mit \(\hat Q=Q_0=C \cdot \left|U_0\right|\)\[\frac{\hat Q}{C}=\frac{C \cdot \left|U_0\right|}{C}=\left|U_0\right|\]

Stromstärke
Aufgabe

Zeige mit Hilfe des Zusammenhangs \(I(t) = \dot Q(t)\), dass die Funktion \(I(t) =  - \hat I \cdot \sin \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\) mit \(\hat I = \sqrt {\frac{C}{L}} \cdot \left| {{U_0}} \right|\) den zeitlichen Verlauf der Stromstärke im Stromkreis während der Schwingung beschreibt.

Zeige weiter, dass die Größe \(\hat I = \sqrt {\frac{C}{L}} \cdot \left| {{U_0}} \right|\) die Maßeinheit \(\rm{A}\) hat.

Lösung

\[I(t) = \dot Q(t) = \hat Q \cdot \left( { - \sin \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)} \right) \cdot {\omega _0} =  - \hat Q \cdot {\omega _0} \cdot \sin \left( {{\omega _0} \cdot t} \right) =  - \underbrace {\hat Q \cdot \sqrt {\frac{1}{L \cdot C}} }_{\hat I} \cdot \sin \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\]\[\hat I = \hat Q \cdot \sqrt {\frac{1}{{L \cdot C}}}  = C \cdot \left| {{U_0}} \right| \cdot \sqrt {\frac{1}{{L \cdot C}}}  = \left| {{U_0}} \right| \cdot \sqrt {\frac{C}{L}} \]\[\left[ {\hat I} \right] = \left[ {\sqrt {\frac{C}{L}}  \cdot \left| {{U_0}} \right|} \right] = \sqrt {\frac{{\rm{F}}}{{\rm{H}}}}  \cdot {\rm{V}} = \sqrt {\frac{{\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{\rm{V}}}}}{{\frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{s}}}}{{\rm{A}}}}}}  \cdot {\rm{V}} = \sqrt {\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{\rm{V}}} \cdot \frac{{\rm{A}}}{{{\rm{V}} \cdot {\rm{s}}}}}  \cdot {\rm{V}} = \sqrt {\frac{{{{\rm{A}}^2}}}{{{{\rm{V}}^2}}}}  \cdot {\rm{V}} = \frac{{\rm{A}}}{{\rm{V}}} \cdot {\rm{V}} = {\rm{A}}\]

Zeige, dass die Funktion \(I(t)\) auch die zweite Anfangsbedingung \(I(0\,\rm{s}) = 0\) erfüllt.

Lösung

\[I(0\,{\rm{s}}) =  - \hat I \cdot \sin \left( {{\omega _0} \cdot 0\,{\rm{s}}} \right) =  - \hat I \cdot {\omega _0} \cdot \underbrace {\sin \left( 0 \right)}_{ =\,0} = 0\]

Spannung über der Spule
Aufgabe

Zeige mit Hilfe des Zusammenhangs \(U_L(t) = L \cdot \dot I(t)\), dass die Funktion \(U_L(t) =  - \hat U_L \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\) mit \(\hat U_L = \left|U_0\right|\) den zeitlichen Verlauf der Spannung über der Spule während der Schwingung beschreibt.

Lösung

\[{U_L}(t) = L \cdot \dot I(t) = L \cdot \left( { - \hat I \cdot {\omega _0} \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)} \right) =  - \underbrace {L \cdot \hat I \cdot {\omega _0}}_{{{\hat U}_L}} \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\]\[{{\hat U}_L} = L \cdot \hat I \cdot {\omega _0} = L \cdot \left| {{U_0}} \right| \cdot \sqrt {\frac{C}{L}}  \cdot \sqrt {\frac{1}{{L \cdot C}}}  = L \cdot \left| {{U_0}} \right| \cdot \frac{1}{L} = \left| {{U_0}} \right|\]

Elektrische Energie
Aufgabe

Zeige mit Hilfe des Zusammenhangs \({E_{{\rm{el}}}} = \frac{1}{2} \cdot C \cdot {U_C}^2\), dass die Funktion \(E_{\rm{el}}(t) =  E_{\rm{el,max}} \cdot \cos^2 \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\) mit \(E_{\rm{el,max}} = \frac{1}{2} \cdot C \cdot \left|U_0\right|^2\) den zeitlichen Verlauf der elektrischen Energie im Kondensator während der Schwingung beschreibt.

Zeige weiter, dass die Größe \(E_{\rm{el,max}} = \frac{1}{2} \cdot C \cdot \left|U_0\right|^2\) die Maßeinheit \(\rm{J}\) hat.

Lösung

\[{E_{{\rm{el}}}} = \frac{1}{2} \cdot C \cdot {U_C}^2 = \frac{1}{2} \cdot C \cdot {\left( {\left| {{U_0}} \right| \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)} \right)^2} = \frac{1}{2} \cdot C \cdot {\left| {{U_0}} \right|^2} \cdot {\cos ^2}\left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\]\[\left[ {{E_{{\rm{el}}{\rm{,max}}}}} \right] = \left[ {\frac{1}{2} \cdot C \cdot {{\left| {{U_0}} \right|}^2}} \right] = {\rm{F}} \cdot {{\rm{V}}^2} = \frac{{\rm{C}}}{{\rm{V}}} \cdot {{\rm{V}}^2} = {\rm{C}} \cdot {\rm{V}} = {\rm{C}} \cdot \frac{{\rm{J}}}{{\rm{C}}} = {\rm{J}}\]

Magnetische Energie
Aufgabe

Zeige mit Hilfe des Zusammenhangs \({E_{{\rm{mag}}}} = \frac{1}{2} \cdot L \cdot I^2\), dass die Funktion \(E_{\rm{mag}}(t) =  E_{\rm{mag,max}} \cdot \sin^2 \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\) mit \(E_{\rm{mag,max}} = \frac{1}{2} \cdot C \cdot \left|U_0\right|^2\) den zeitlichen Verlauf der magnetischen Energie im Kondensator während der Schwingung beschreibt.

Zeige weiter, dass die Größe \(E_{\rm{mag,max}} = \frac{1}{2} \cdot C \cdot \left|U_0\right|^2\) die Maßeinheit \(\rm{J}\) hat.

Lösung

\[{E_{{\rm{mag}}}} = \frac{1}{2} \cdot L \cdot {I^2} = \frac{1}{2} \cdot L \cdot {\left( -{\sqrt {\frac{C}{L}}  \cdot \left| {{U_0}} \right| \cdot \sin \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)} \right)^2} = \frac{1}{2} \cdot L \cdot \frac{C}{L} \cdot {\left| {{U_0}} \right|^2} \cdot {\sin ^2}\left( {{\omega _0} \cdot t} \right) = \frac{1}{2} \cdot C \cdot {\left| {{U_0}} \right|^2} \cdot {\sin ^2}\left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\]\[\left[ {{E_{{\rm{mag}}{\rm{,max}}}}} \right] = \left[ {\frac{1}{2} \cdot C \cdot {{\left| {{U_0}} \right|}^2}} \right] = {\rm{F}} \cdot {{\rm{V}}^2} = \frac{{\rm{C}}}{{\rm{V}}} \cdot {{\rm{V}}^2} = {\rm{C}} \cdot {\rm{V}} = {\rm{C}} \cdot \frac{{\rm{J}}}{{\rm{C}}} = {\rm{J}}\]