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Ausblick

Elektromagnetischer Schwingkreis gedämpft (Theorie)

Lösung der Differentialgleichung zur gedämpften elektromagnetischen Schwingung

Die Lösung der Differentialgleichung für die ungedämpfte, elektromagnetische Schwingung gehört meist nicht zum Pflichtpensum. Vielleicht interessiert Sie aber der etwas langwierige, rechnerische Weg.

Differentialgleichung:
\[L \cdot \ddot Q + \frac{Q}{C} + R \cdot \dot Q = 0 \quad(1)\]
Lösungsansatz:
\[Q(t) = \hat Q \cdot {e^{ - \delta  \cdot t}} \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right) \quad(2)\]
Differenzieren des Lösungsansatzes:
1. Ableitung:
\[\dot Q(t) =  - \hat Q \cdot {e^{ - \delta  \cdot t}}\left[ {\delta  \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right) + \omega  \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)} \right]\]
2. Ableitung:
\[\ddot Q(t) = \hat Q \cdot {e^{ - \delta  \cdot t}}\left[ {{\delta ^2} \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right) + 2 \cdot \omega  \cdot \delta  \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right) - {\omega ^2} \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right)} \right]\]
Setzt man die beiden Ableitungen und den Lösungsansatz in die Differentialgleichung \((1)\) ein und sortiert nach Gliedern, welche den Sinus bzw. Kosinus enthalten, so erhält man
\[\hat Q \cdot {e^{ - \delta  \cdot t}}\left[ {\left( {L \cdot {\delta ^2} - L \cdot {\omega ^2} - R \cdot \delta  + \frac{1}{C}} \right) \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right) + \left( {2 \cdot L \cdot \omega  \cdot \delta  - R \cdot \omega } \right)\sin \left( {\omega  \cdot t} \right)} \right] = 0\]
Zunächst lässt sich diese Gleichung durch den von Null verschiedenen Faktor vor der Klammer kürzen:
\[\left( {L \cdot {\delta ^2} - L \cdot {\omega ^2} - R \cdot \delta  + \frac{1}{C}} \right) \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right) + \left( {2 \cdot L \cdot \omega  \cdot \delta  - R \cdot \omega } \right)\sin \left( {\omega  \cdot t} \right) = 0\]
Die linke Seite der Gleichung ist dauerhaft nur Null, wenn die beiden Faktoren vor dem Kosinus und dem Sinus Null sind: Der Faktor beim Sinus wird Null, wenn
\[2 \cdot L \cdot \omega  \cdot \delta  - R \cdot \omega  = 0 \Leftrightarrow \delta  = \frac{R}{{2 \cdot L}}\]
Der Faktor beim Kosinus wird Null, wenn
\[L \cdot {\delta ^2} - L \cdot {\omega ^2} - R \cdot \delta  + \frac{1}{C} = 0 \Leftrightarrow {\omega ^2} = {\delta ^2} - \frac{R}{L} \cdot \delta  + \frac{1}{{L \cdot C}}\]
Mit der obigen Beziehung für \(\delta\) ergibt sich
\[{\omega ^2} = {\left( {\frac{R}{{2 \cdot L}}} \right)^2} - \frac{R}{L} \cdot \frac{R}{{2 \cdot L}} + \frac{1}{{L \cdot C}} =  - \frac{{{R^2}}}{{4 \cdot {L^2}}} + \frac{1}{{L \cdot C}}\]
und schließlich
\[\omega  = \sqrt {\frac{1}{{L \cdot C}} - \frac{{{R^2}}}{{4 \cdot {L^2}}}} \]