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Aufgabe

RYDBERG-Atome (Abitur BY 1987 LK A4-1)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

RYDBERG-Atome sind Mehrelektronenatome, bei denen das äußerste Elektron in ein sehr hohes Energieniveau angeregt ist. Im Weltraum gibt es solche Atome mit "riesigem" Radius, bei denen sich dieses Elektron in einem Zustand mit der Quantenzahl \(n = 350\) befinden kann, im Labor erreicht man etwa \(n = 100\).

a)Begründen Sie, warum solche hochangeregten Zustände des Elektrons die gleichen wie bei beim H-Atom sind. (3 BE)

b)Berechnen Sie nach dem BOHRschen Modell des H-Atoms allgemein den Radius \(r_n\) der \(n\)-ten Quantenbahn und die zugehörige Geschwindigkeit \(v_n\). [Teilergebnis: \(v_n = \frac{e^2}{2 \cdot \epsilon_0 \cdot h } \cdot \frac{1}{n}\)] (9 BE)

c)Berechnen Sie, in welcher Entfernung vom Kernmittelpunkt ein Elektron auf der 350. Quantenbahn kreist. (4 BE)

Im Labor stellt man solche hochangeregten RYDBERG-Atome her, indem man z.B. einen verdünnten Lithiumdampfstrahl der Temperatur \(650^\circ {\rm{C}}\) in eine Vakuumkammer einleitet und mit einem Farbstofflaser variabler Frequenz bestrahlt.

d)Das äußerste Elektron des Lithiumatoms sei durch einen Laser auf die Quantenbahn mit \(n = 29\) gehoben worden.

Berechnen Sie die Ionisierungsenergie dieses RYDBERG-Atoms in \({\rm{eV}}\). (5 BE)

e)Vergleichen Sie diese Ionisierungsenergie mit der mittleren kinetischen Energie der Lithiumatome im Dampf der Temperatur \(650^\circ {\rm{C}}\).

Begründen Sie, warum der Dampfstrahl sehr verdünnt sein muss, wenn man Emission von Strahlung durch Quantensprung vom angeregten Niveau aus beobachten will. (6 BE)

f)Untersuchen Sie, welche Wellenlänge die emittierte Strahlung besitzt, die beim Quantensprung des Elektrons von \(n = 29\) auf \(n = 28\) auftritt.

Geben Sie an, in welchem Bereich diese Strahlung liegt. Hinweis: Die Verwendung der RYDBERG-Konstanten ist zweckmäßig. (5 BE)

Anmerkung von LEIFIphysik: Der Begriff RYDBERG-Konstante wird unterschiedlich verwendet. LEIFIphysik orientiert sich an der in Bayern zugelassenen Formelsammlung mit \({R_{\rm{H}}} = 1,097 \cdot {10^7}\frac{1}{{\rm{m}}}\). In einigen Büchern setzt man aber auch \(R = 3,29 \cdot {10^{15}}{\rm{Hz}}\). Es gilt \(R = {R_{\rm{H}}} \cdot c\).

RYDBERG-Atome verhalten sich wegen der hohen Quantenzahlen weitgehend wie klassische Oszillatoren. Nach BOHRs Korrespondenzprinzip sollte für sie die Frequenz der emittierten Strahlung mit der Umlauffrequenz des Leuchtelektrons übereinstimmen. Dies soll im Folgenden nachgewiesen werden.

g)Zeigen Sie zunächst, dass sich zwei benachbarte Quantenbahnen der Quantenzahlen \(n\) und \(n-1\) für \(n \gg 1\) durch die Energie \(\Delta W = \frac{{2 \cdot {R_{\rm{H}}} \cdot h \cdot c}}{{{n^3}}}\) unterscheiden. (6 BE)

h)Berechnen Sie nun allgemein die Umlauffrequenz des Elektrons auf der \(n\)-ten Quantenbahn.

Vergleichen Sie diese mit der Frequenz der emittierten Strahlung beim Quantensprung von \(n\) auf \(n-1\). (10 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Die Ladung \(Z \cdot e\) des Kerns wird durch \(Z-1\) Elektronen abgeschirmt. Das Elektron auf der Bahn mit großem Radius "spürt" nur die Kernladung \(1 \cdot e\) (wie beim Wasserstoffatom).

b)Nach dem BOHRschen Modell des H-Atoms wirkt auf der \(n\)-ten Quantenbahn die Coulombkraft \(F_{\rm{C}}\) als Zentripetalkraft \(F_{{\rm{ZP}}}\), d.h.\[{F_{\rm{C}}} = {F_{{\rm{ZP}}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{{e^2}}}{{{r_n}^2}} = {m_e} \cdot \frac{{{v_n}^2}}{{{r_n}}} \quad(1)\]Weiter gilt nach dem BOHRschen Postulat\[2 \cdot \pi  \cdot {r_n} \cdot {m_e} \cdot {v_n} = n \cdot h \quad(2)\]Kombiniert man \((1)\) und \((2)\), so erhält man\[\frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{{e^2}}}{{{r_n}^2}} = \frac{{{n^2} \cdot {h^2}}}{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot {m_e} \cdot {r_n}^3}} \Leftrightarrow {r_n} = \frac{{{h^2} \cdot {\varepsilon _0}}}{{\pi  \cdot {e^2} \cdot {m_e}}} \cdot {n^2} \quad(3)\]Setzt man dies in \((2)\) ein und löst nach \(v_n\) auf, so erhält man\[{v_n} = \frac{{{e^2}}}{{2 \cdot {\varepsilon _0} \cdot {h}}} \cdot \frac{1}{n}\]

c)Für \(n=350\) ergibt sich aus \((3)\)\[{r_{350}} = \frac{{{h^2} \cdot {\varepsilon _0}}}{{\pi  \cdot {e^2} \cdot {m_e}}} \cdot {350^2} = 0,53 \cdot {10^{ - 10}}{\rm{m}} \cdot {350^2} = 6,5 \cdot {10^{ - 6}}{\rm{m}}\]

d)Aus der Formel für die Gesamtenergie auf der n-ten Quantenbahn\[{E_n} =  - \frac{{{R_\infty} \cdot h \cdot c}}{{{n^2}}}\]ergibt sich für \(n=29\)\[{E_{29}} = - \frac{{{R_\infty} \cdot h \cdot c}}{{{{29}^2}}} = - \frac{{1,0967 \cdot {{10}^7}\frac{1}{{\rm{m}}} \cdot 6,63 \cdot {{10}^{-34}}{\rm{Js}} \cdot 2,99 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{{{29}^2}}} = - 2,59 \cdot {10^{ - 21}}{\rm{J}} = - 1,6 \cdot {10^{ - 2}}{\rm{eV}}\]Damit ergibt sich die Ionisierungsenergie
\[{E_{{\rm{Ion}}}} = {E_\infty } - {E_{29}} = 0{\rm{eV}} - \left( { - 1,6 \cdot {{10}^{ - 2}}{\rm{eV}}} \right) = 1,6 \cdot {10^{ - 2}}{\rm{eV}}\]

e)Die mittlere kinetische Energie der Lithiumatome im Dampf der Temperatur \(650^\circ {\rm{C}}\) ergibt sich aus\[{{\bar E}_{{\rm{kin}}}} = \frac{3}{2} \cdot {k_{\rm{B}}} \cdot T\]zu\[{{\bar E}_{{\rm{kin}}}} = \frac{3}{2} \cdot 1,38 \cdot {10^{ - 23}}\frac{{\rm{J}}}{{\rm{K}}} \cdot \left( {650 + 273} \right){\rm{K}} = 1,91 \cdot {10^{ - 20}}{\rm{J}} = 0,12{\rm{eV}}\]Die mittlere kinetische Energie der Atome ist höher als die Ionisierungsenergie aus dem Zustand mit \(n = 29\). Damit nicht schon durch Stöße eine Ionisierung erfolgt, muss der Dampfstrahl sehr verdünnt sein, damit die Stoßwahrscheinlichkeit kleiner wird.

f)Nach dem Energieerhaltungssatz ist die Energie \(E_{\rm{Ph}}\) des ausgesandten Photons gleich der Energiedifferenz \(\Delta E\) der beiden Energieniveaus:\[{E_{{\rm{Ph}}}} = \Delta E \Leftrightarrow \frac{{h \cdot c}}{\lambda } = {R_\infty} \cdot h \cdot c \cdot \left( {\frac{1}{{{{28}^2}}} - \frac{1}{{{{29}^2}}}} \right) \Leftrightarrow \lambda  = \frac{1}{{{R_\infty} \cdot \left( {\frac{1}{{{{28}^2}}} - \frac{1}{{{{29}^2}}}} \right)}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\lambda  = \frac{1}{{1,097 \cdot {{10}^7}\frac{1}{{\rm{m}}} \cdot \left( {\frac{1}{{{{28}^2}}} - \frac{1}{{{{29}^2}}}} \right)}} = 1,05 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{m}}\]Diese Wellenlänge von ca. \(1\rm{mm}\) liegt im Mikowellenbereich.

g)\[\Delta E = {E_n} - {E_{n - 1}} = R_\infty \cdot h \cdot c \cdot \left( {\frac{1}{{{{\left( {n - 1} \right)}^2}}} - \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = R_\infty \cdot h \cdot c \cdot \frac{{2 \cdot n - 1}}{{{n^4} - 2 \cdot {n^3} + {n^2}}} = R_\infty \cdot h \cdot c \cdot \frac{{2 - \frac{1}{n}}}{{{n^3} \cdot \left( {1 - \frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}\]Für immer größer werdendes \(n\) nähert sich der Bruch immer mehr dem Wert \(\frac{2}{{{n^3}}}\), so dass sich für die Energiedifferenz \(\Delta E\) ergibt\[\Delta E = R_\infty \cdot h \cdot c \cdot \frac{2}{{{n^3}}}\]Nach dem Energieerhaltungssatz ist die Energie \(E_{\rm{Ph}}\) des ausgesandten Photons gleich der Energiedifferenz \(\Delta E\), so dass sich ergibt\[{E_{{\rm{Ph}}}} = \Delta E \Leftrightarrow h \cdot f = R_\infty \cdot h \cdot c \cdot \frac{2}{{{n^3}}} \Leftrightarrow f = R_\infty \cdot c \cdot \frac{2}{{{n^3}}}\]

h)Für die Umlaufdauer \(T_n\) gilt\[{T_n} = \frac{{2 \cdot \pi  \cdot {r_n}}}{{{v_n}}} \Rightarrow {f_n} = \frac{{{v_n}}}{{2 \cdot \pi  \cdot {r_n}}}\]Setzt man die in Teilaufgabe a) gewonnenen Ausdrücke für \(v_n\) und \(r_n\) ein, so ergibt sich
\[{f_n} = \frac{{\frac{{{e^2}}}{{2 \cdot {\varepsilon _0} \cdot {m_e}}} \cdot \frac{1}{n}}}{{2 \cdot \pi  \cdot \frac{{{h^2} \cdot {\varepsilon _0}}}{{\pi  \cdot {e^2} \cdot {m_e}}} \cdot {n^2}}} = \frac{{{e^4} \cdot {m_e}}}{{8 \cdot {\varepsilon _0}^2 \cdot {h^3}}} \cdot \frac{2}{{{n^3}}} = R_\infty \cdot c \cdot \frac{2}{{{n^3}}}\]Diese klassisch berechnete Frequenz stimmt mit der nach dem BOHRschen Modell für hohe Quantenzahlen berechneten Frequenz von Teilaufgabe g) überein.