BOHRsches Atommodell

Die Ladung \(Z \cdot e\) des Kerns wird durch \(Z-1\) Elektronen abgeschirmt. Das Elektron auf der Bahn mit großem Radius "spürt" nur die Kernladung \(1 \cdot e\) (wie beim Wasserstoffatom).

Nach dem BOHRschen Modell des H-Atoms wirkt auf der \(n\)-ten Quantenbahn die Coulombkraft \(F_{\rm{C}}\) als Zentripetalkraft \(F_{{\rm{ZP}}}\), d.h.\[{F_{\rm{C}}} = {F_{{\rm{ZP}}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{{e^2}}}{{{r_n}^2}} = {m_e} \cdot \frac{{{v_n}^2}}{{{r_n}}} \quad(1)\]Weiter gilt nach dem BOHRschen Postulat\[2 \cdot \pi  \cdot {r_n} \cdot {m_e} \cdot {v_n} = n \cdot h \quad(2)\]Kombiniert man \((1)\) und \((2)\), so erhält man\[\frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{{e^2}}}{{{r_n}^2}} = \frac{{{n^2} \cdot {h^2}}}{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot {m_e} \cdot {r_n}^3}} \Leftrightarrow {r_n} = \frac{{{h^2} \cdot {\varepsilon _0}}}{{\pi  \cdot {e^2} \cdot {m_e}}} \cdot {n^2} \quad(3)\]Setzt man dies in \((2)\) ein und löst nach \(v_n\) auf, so erhält man\[{v_n} = \frac{{{e^2}}}{{2 \cdot {\varepsilon _0} \cdot {h}}} \cdot \frac{1}{n}\]

Für \(n=350\) ergibt sich aus \((3)\)\[{r_{350}} = \frac{{{h^2} \cdot {\varepsilon _0}}}{{\pi  \cdot {e^2} \cdot {m_e}}} \cdot {350^2} = 0,53 \cdot {10^{ - 10}}{\rm{m}} \cdot {350^2} = 6,5 \cdot {10^{ - 6}}{\rm{m}}\]

Aus der Formel für die Gesamtenergie auf der n-ten Quantenbahn\[{E_n} =  - \frac{{{R_\infty} \cdot h \cdot c}}{{{n^2}}}\]ergibt sich für \(n=29\)\[{E_{29}} = - \frac{{{R_\infty} \cdot h \cdot c}}{{{{29}^2}}} = - \frac{{1,0967 \cdot {{10}^7}\frac{1}{{\rm{m}}} \cdot 6,63 \cdot {{10}^{-34}}{\rm{Js}} \cdot 2,99 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{{{29}^2}}} = - 2,59 \cdot {10^{ - 21}}{\rm{J}} = - 1,6 \cdot {10^{ - 2}}{\rm{eV}}\]Damit ergibt sich die Ionisierungsenergie
\[{E_{{\rm{Ion}}}} = {E_\infty } - {E_{29}} = 0{\rm{eV}} - \left( { - 1,6 \cdot {{10}^{ - 2}}{\rm{eV}}} \right) = 1,6 \cdot {10^{ - 2}}{\rm{eV}}\]

Die mittlere kinetische Energie der Lithiumatome im Dampf der Temperatur \(650^\circ {\rm{C}}\) ergibt sich aus\[{{\bar E}_{{\rm{kin}}}} = \frac{3}{2} \cdot {k_{\rm{B}}} \cdot T\]zu\[{{\bar E}_{{\rm{kin}}}} = \frac{3}{2} \cdot 1,38 \cdot {10^{ - 23}}\frac{{\rm{J}}}{{\rm{K}}} \cdot \left( {650 + 273} \right){\rm{K}} = 1,91 \cdot {10^{ - 20}}{\rm{J}} = 0,12{\rm{eV}}\]Die mittlere kinetische Energie der Atome ist höher als die Ionisierungsenergie aus dem Zustand mit \(n = 29\). Damit nicht schon durch Stöße eine Ionisierung erfolgt, muss der Dampfstrahl sehr verdünnt sein, damit die Stoßwahrscheinlichkeit kleiner wird.

Nach dem Energieerhaltungssatz ist die Energie \(E_{\rm{Ph}}\) des ausgesandten Photons gleich der Energiedifferenz \(\Delta E\) der beiden Energieniveaus:\[{E_{{\rm{Ph}}}} = \Delta E \Leftrightarrow \frac{{h \cdot c}}{\lambda } = {R_\infty} \cdot h \cdot c \cdot \left( {\frac{1}{{{{28}^2}}} - \frac{1}{{{{29}^2}}}} \right) \Leftrightarrow \lambda  = \frac{1}{{{R_\infty} \cdot \left( {\frac{1}{{{{28}^2}}} - \frac{1}{{{{29}^2}}}} \right)}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\lambda  = \frac{1}{{1,097 \cdot {{10}^7}\frac{1}{{\rm{m}}} \cdot \left( {\frac{1}{{{{28}^2}}} - \frac{1}{{{{29}^2}}}} \right)}} = 1,05 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{m}}\]Diese Wellenlänge von ca. \(1\rm{mm}\) liegt im Mikowellenbereich.

\[\Delta E = {E_n} - {E_{n - 1}} = R_\infty \cdot h \cdot c \cdot \left( {\frac{1}{{{{\left( {n - 1} \right)}^2}}} - \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = R_\infty \cdot h \cdot c \cdot \frac{{2 \cdot n - 1}}{{{n^4} - 2 \cdot {n^3} + {n^2}}} = R_\infty \cdot h \cdot c \cdot \frac{{2 - \frac{1}{n}}}{{{n^3} \cdot \left( {1 - \frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}\]Für immer größer werdendes \(n\) nähert sich der Bruch immer mehr dem Wert \(\frac{2}{{{n^3}}}\), so dass sich für die Energiedifferenz \(\Delta E\) ergibt\[\Delta E = R_\infty \cdot h \cdot c \cdot \frac{2}{{{n^3}}}\]Nach dem Energieerhaltungssatz ist die Energie \(E_{\rm{Ph}}\) des ausgesandten Photons gleich der Energiedifferenz \(\Delta E\), so dass sich ergibt\[{E_{{\rm{Ph}}}} = \Delta E \Leftrightarrow h \cdot f = R_\infty \cdot h \cdot c \cdot \frac{2}{{{n^3}}} \Leftrightarrow f = R_\infty \cdot c \cdot \frac{2}{{{n^3}}}\]

Für die Umlaufdauer \(T_n\) gilt\[{T_n} = \frac{{2 \cdot \pi  \cdot {r_n}}}{{{v_n}}} \Rightarrow {f_n} = \frac{{{v_n}}}{{2 \cdot \pi  \cdot {r_n}}}\]Setzt man die in Teilaufgabe a) gewonnenen Ausdrücke für \(v_n\) und \(r_n\) ein, so ergibt sich
\[{f_n} = \frac{{\frac{{{e^2}}}{{2 \cdot {\varepsilon _0} \cdot {m_e}}} \cdot \frac{1}{n}}}{{2 \cdot \pi  \cdot \frac{{{h^2} \cdot {\varepsilon _0}}}{{\pi  \cdot {e^2} \cdot {m_e}}} \cdot {n^2}}} = \frac{{{e^4} \cdot {m_e}}}{{8 \cdot {\varepsilon _0}^2 \cdot {h^3}}} \cdot \frac{2}{{{n^3}}} = R_\infty \cdot c \cdot \frac{2}{{{n^3}}}\]Diese klassisch berechnete Frequenz stimmt mit der nach dem BOHRschen Modell für hohe Quantenzahlen berechneten Frequenz von Teilaufgabe g) überein.