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Aufgabe

RYDBERG-Atome (Abitur BY 2004 GK A3-2)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Atome, die sich in sehr hoch angeregten Zuständen befinden, werden als RYDBERG-Atome bezeichnet. Durch radioastronomische Beobachtungen wurden im Weltraum Wasserstoff-Atome ausgemacht, die sich in Zuständen bis \(n = 350\) befinden. Rechne bei den folgenden Teilaufgaben für das H-Atom mit der Ionisierungsenergie \(13{,}60\,{\rm{eV}}\) und der RYDBERG-Konstante \({R_\infty } = 1{,}097 \cdot {10^7}\,\frac{1}{{\rm{m}}}\).

a)Die lineare Ausdehnung des Wasserstoffatoms kann proportional zu \({n^2}\) angenommen werden; im Grundzustand beträgt sie \(11 \cdot {10^{ - 11}}\,{\rm{m}}\).

Berechne, bei welcher Quantenzahl \(n\) das Atom die Ausdehnung eines Haardurchmessers von \(\frac{1}{{30}}\,{\rm{mm}}\) hätte. (4 BE)

b)Berechne die Wellenlänge \({\lambda _{\rm{R}}}\) der Strahlung, die ein H-Atom emittiert, wenn es von dem Zustand mit \(n = 100\) in das benachbarte Niveau übergeht.

Berechne, in welchem Verhältnis diese Wellenlänge zu jener der Strahlung steht, die entsteht, wenn das H-Atom vom 1. angeregten Niveau in den Grundzustand zurückkehrt. [zur Kontrolle: \({\lambda _{\rm{R}}} = 4{,}490 \cdot {10^{ - 2}}\,{\rm{m}}\)] (6 BE)

c)Untersuche, zu welchen Bereichen des elektromagnetischen Spektrums  jeweils die beiden Wellenlängen von Teilaufgabe b) gehören.

Gib eine Möglichkeit an, Wellen nachzuweisen, deren Wellenlängen in der Größenordnung von \({\lambda _{\rm{R}}}\) liegen und genügend große Intensität besitzen. (5 BE)

d)Der Nachweis von RYDBERG-Atomen erfolgt durch ihre leichte Ionisierbarkeit.

Untersuche, welche Energie noch nötig ist, um das H-Atom aus dem Zustand mit \(n = 10\) heraus zu ionisieren. (4 BE)

Im Labor erzeugt man RYDBERG-Atome durch Absorption des Lichts zweier sich kreuzender Laserstrahlen. Dabei wird das Wasserstoffatom im Grundzustand durch den ersten Laserstrahl zunächst in einen Zwischenzustand angeregt, der zweite Laser liefert den noch fehlenden Energiebetrag für den RYDBERG-Zustand.

e)Der erste Laser besitze die feste Photonenenergie \(12{,}09\,{\rm{eV}}\).

Weise nach, dass sich das H-Atom mit dieser Photonenenergie anregen lässt.

Berechne, welche Wellenlänge der zweite Laser besitzen muss, um das H-Atom in den Zustand mit \(n = 100\) anzuheben. (8 BE)

Abweichend vom Bisherigen werden jetzt Atome mit mehr als einem Hüllenelektron betrachtet.

f)Beschreibe die Verteilung der Elektronen auf den Schalen eines Natrium-Atoms.

Begründe anschaulich, warum sich ein Natrium-Atom in einem RYDBERG-Zustand in vielen seiner Eigenschaften wie ein hoch angeregtes Wasserstoff-Atom verhält. (8 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)\[{d_n} = {n^2} \cdot {d_1} \Rightarrow n = \sqrt {\frac{{{d_n}}}{{{d_1}}}}  \Rightarrow n = \sqrt {\frac{{\frac{1}{{30}} \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^{ - 3}}{\rm{m}}}}{{11 \cdot {{10}^{ - 11}}{\rm{m}}}}}  = 5,5 \cdot {10^2} = 550\]

b)Nach dem Energieerhaltungssatz ist die Energie des emittierten Photons beim Übergang des Atoms vom Zustand \(n\) zum Zustand \(m\) gleich der dabei freigesetzten Energiedifferenz. Daraus ergibt sich\[{E_{{\rm{Ph}}}} = \Delta E \Leftrightarrow \frac{{h \cdot c}}{{{\lambda}}} = {R_\infty } \cdot h \cdot c \cdot \left( {\frac{1}{{{m^2}}} - \frac{1}{{{n^2}}}} \right) \Leftrightarrow {\lambda } = \frac{1}{{{R_\infty } \cdot \left( {\frac{1}{{{m^2}}} - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{\lambda _{\rm{R}}} = \frac{1}{{1,097 \cdot {{10}^7}\frac{1}{{\rm{m}}} \cdot \left( {\frac{1}{{{{99}^2}}} - \frac{1}{{{{100}^2}}}} \right)}} = 4,490 \cdot {10^{ - 2}}{\rm{m}}\]Entsprechend ergibt sich für den Übergang Wasserstoff-Atom\[{\lambda _{\rm{1}}} = \frac{1}{{1,097 \cdot {{10}^7}\frac{1}{{\rm{m}}} \cdot \left( {\frac{1}{{{1^2}}} - \frac{1}{{{2^2}}}} \right)}} = 1,215 \cdot {10^{ - 7}}{\rm{m}}\]Das Verhältnis dieser beiden Wellenlängen ergibt sich dann zu\[\frac{{{\lambda _{\rm{R}}}}}{{{\lambda _{\rm{1}}}}} = \frac{{4,490 \cdot {{10}^{ - 2}}{\rm{m}}}}{{1,215 \cdot {{10}^{ - 7}}{\rm{m}}}} = 3,694 \cdot {10^5}\]

c)Die Wellenlänge \({\lambda _{\rm{1}}}\) gehört zum Ultraviolett-Bereich, die Wellenlänge \({\lambda _{\rm{R}}}\) zum Mikrowellen-Bereich. Mikrowellen können durch einen mit einer Diode versehenen Empfangsdipol, an den ein Verstärker angeschlossen ist, nachgewiesen werden.

d)Aus\[{{E'}_{{\rm{Ion}}}} = {E_\infty } - {E_{10}} = 0{\rm{eV}} - \left( {\frac{{ - {E_{{\rm{Ion}}}}}}{{{n^2}}}} \right)\]ergibt sich nach Einsetzen der gegebenen Werte\[{{E'}_{{\rm{Ion}}}} = \frac{{13,60{\rm{eV}}}}{{{{10}^2}}} = 0,1360{\rm{eV}}\]

e)Man prüft, ob sich in dem folgenden Ansatz mit \({{E_n} = 12,09{\rm{eV}}}\) ein natürliches \(n\) ergibt:\[{{E_n} = {E_{{\rm{Ion}}}} \cdot \left( {\frac{1}{{{1^2}}} - \frac{1}{{{n^2}}}} \right) \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{{{n^2}}} = \frac{{{E_n}}}{{{E_{{\rm{Ion}}}}}} \Leftrightarrow {n^2} = \frac{{{E_{{\rm{Ion}}}}}}{{{E_{{\rm{Ion}}}} - {E_n}}} \Rightarrow n = \sqrt {\frac{{{E_{{\rm{Ion}}}}}}{{{E_{{\rm{Ion}}}} - {E_n}}}} }\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{n = \sqrt {\frac{{13,60{\rm{eV}}}}{{13,60{\rm{eV}} - 12,09{\rm{eV}}}}}  = 3,0}\]Durch den zweiten Laser muss dann noch die Energiedifferenz \(\Delta E = {E_{100}} - {E_3}\) überwunden werden:\[\Delta E = {E_{{\rm{Ion}}}} \cdot \left( {\frac{1}{{{3^2}}} - \frac{1}{{{{100}^2}}}} \right) = 13,60{\rm{eV}} \cdot \left( {\frac{1}{{{3^2}}} - \frac{1}{{{{100}^2}}}} \right) = 1,510{\rm{eV}}\]Nach dem Energieerhaltungssatz ist die Energie des eingestrahlten Photons gleich der obenberechneten Energiedifferenz \(\Delta E\). Daraus ergibt sich\[{E_{{\rm{Ph}}}} = \Delta E \Leftrightarrow \frac{{h \cdot c}}{{{\lambda _2}}} = \Delta E \Leftrightarrow {\lambda _2} = \frac{{h \cdot c}}{{\Delta E}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{\lambda _2} = \frac{{6,626 \cdot {{10}^{ - 34}}{\rm{Js}} \cdot 2,998 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{1,510 \cdot 1,602 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{J}}}} = 821{\rm{nm}}\]

f)Natrium hat 11 Hüllenelektronen. Zwei davon befinden sich auf der abgeschlossenen K-Schale, acht auf der abgeschlossenen L-Schale. Somit bleibt noch ein Elektron auf der M-Schale.

In einem Rydberg-Zustand (hohes \(n\)) "sieht" dieses Elektron (Leuchtelektron) aus großer Entfernung den durch zehn Elektronen abgeschirmten elffach positiv geladenen Kern, also - stark vereinfacht - nur eine positive Kernladung. Diese Verhältnisse sind ähnlich denen beim Wasserstoff, wo das weit vom Kern entfernte Elektron auch nur eine positive Kernladung "sieht".

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Atomphysik

BOHRsches Atommodell