Das Anti-Teilchen \(\rm{e}^+\) zum Elektron heißt Positron. Trifft ein langsames Positron auf ein Elektron eines Festkörpers, so kann es passieren, dass beide Teilchen sich aufgrund ihrer ungleichnamigen Ladungen kurzzeitig aneinander binden und ein sogenanntes Positronium-Atom bilden. Im Vergleich zum Wasserstoffatom ist hier das Proton durch das Positron ersetzt. Ein Positronium-Atom hat die Energieniveaus\[{E_n} = - \frac{{6{,}8\,{\rm{eV}}}}{{{n^2}}}\;;\;n \in \left\{ {1;\;2;\;3;\;...} \right\}\]Stelle in einem Energieniveauschema die ersten vier Niveaus des Positronium-Atoms dar.
Überprüfe, ob es innerhalb dieses Schemas einen Übergang gibt, bei dem Licht im sichtbaren Bereich emittiert wird.
Aus der Beziehung für die Energieniveaus folgt\[E_n = - \frac{{6{,}8\,{\rm{eV}}}}{{{n^2}}}\;;\;n \in \left\{ {1;\;2;\;3;\;...} \right\}\]Für die ersten vier Niveaus gilt dann\[E_1=-\frac{{6{,}8\,{\rm{eV}}}}{{{1^2}}}=-6{,}8\,{\rm{eV}}\]\[E_2=-\frac{{6{,}8\,{\rm{eV}}}}{{{2^2}}}=-1{,}7\,{\rm{eV}}\]\[E_3=-\frac{{6{,}8\,{\rm{eV}}}}{{{3^2}}}=-0{,}76\,{\rm{eV}}\]\[E_4=-\frac{{6{,}8\,{\rm{eV}}}}{{{4^2}}}=-0{,}43\,{\rm{eV}}\]
Das sichtbare Spektrum liegt etwa in einem Wellenlängenbereich von \({\lambda _{{\rm{violett}}}} = 380\,{\rm{nm}}\) bis \({\lambda _{{\rm{rot}}}} = 780\,{\rm{nm}}\). Die zugehörigen Photonenenergien sind wegen\[E = \frac{{h \cdot c}}{\lambda }\]\[{E_{{\rm{Ph,violett}}}} = \frac{{4{,}14 \cdot {{10}^{ - 15}}\,{\rm{eV\,s}} \cdot 3{,}00 \cdot {{10}^8}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{380 \cdot {{10}^{ - 9}}\,{\rm{m}}}} = 3{,}27\,{\rm{eV}}\]\[{E_{{\rm{Ph,rot}}}} = \frac{{4{,}14 \cdot {{10}^{ - 15}}\,{\rm{eV\,s}} \cdot 3{,}00 \cdot {{10}^8}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{780 \cdot {{10}^{ - 9}}\,{\rm{m}}}} = 1{,}59\,{\rm{eV}}\]Die Übergänge von höheren Niveaus auf \(E_1\) führen zu Photonen mit Energien \(E_{\rm{Ph}} =\Delta E \ge - 1{,}7\,{\rm{eV}} - \left( -6{,}8\,{\rm{eV}}\right) = 5{,}1\,{\rm{eV}}\), d.h. diese Photonen liegen nicht im sichtbaren Bereich.
Die Übergänge von höheren Niveaus auf \(E_2\) führen zu Photonen mit Energien \(E_{\rm{Ph}} =\Delta E \le -0{,}43\,{\rm{eV}} - \left( -1{,}7\,{\rm{eV}} \right) = 1{,}27\,{\rm{eV}}\), d.h. auch diese Photonen liegen nicht innerhalb des sichtbaren Bereichs.
Fazit: Bei keinem der möglichen Übergänge im Positronium-Atom entsteht Licht im sichtbaren Bereich.
