Sternbeobachtung

Astronomie

Sternbeobachtung

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Erdradius nach ERATOSTHENES

ERATOSTHENES (276 - 196 v. Chr.) war Bibliothekar in Alexandria, wo sich um diese Zeit eine der größten wissenschaftlichen Bibliotheken befand. Außerdem besaß er beträchtliche Kenntnisse in der Geometrie. Auf ihn geht eine der ersten Bestimmungen des Erdradius zurück.

ERATOSTHENES wusste, dass die Entfernung \(b\) der beiden auf etwa dem selben Längengrad liegenden Orte Alexandria und Syene (heute: Assuan) 5000 Stadien betrug (1 Stadion = 157,5 m). Aus einem Bericht in seiner Bibliothek wusste er, dass zur Sommersonnenwende (21. Juni) die Sonne in Assuan mittags im Zenit steht (sie spiegelte sich in einem tiefen Brunnenschacht). Zum gleichen Zeitpunkt stand die Sonne in Alexandria nicht im Zenit, traf also unter einem Winkel auf die Erdoberfläche, der von 90° verschieden war. ERATOSTHENES konnte aus der Messung der Schattenlänge eines Objektes, dessen Höhe bekannt war (z.B. eines Obelisken), den Winkel α = 7,2° bestimmen.

Verständnisaufgabe

Bestimme aus den gegebenen Daten den Erdradius nach ERASTOTHENES und berechne die prozentuale Abweichung vom genauen Erdradius.

Lösung

Bestimmung der Bogenlänge \(b\):
\[b = 5000{\rm{ }}\cdot{\rm{ }}157,5{\rm{m}} = 787,5{\rm{km}}\]
Zum Bogen \(b\) gehört der Winkel des Kreissektors \(\alpha \) (Z-Winkel). Mit Hilfe des Dreisatzes kann dann der Radius der Erde berechnet werden:
\[\frac{{2 \cdot \pi  \cdot {r_{\rm{E}}}}}{{360^\circ }} = \frac{b}{{7,2^\circ }} \Rightarrow {r_{\rm{E}}} = \frac{{360^\circ }}{{7,2^\circ }} \cdot \frac{{787,5{\rm{km}}}}{{2 \cdot \pi }} = 6267{\rm{km}}\]
Ist \(6368{\rm{km}}\) der genaue Erdradius, so ergibt sich
\[p\%  = \frac{P}{G} \Rightarrow p\%  = \frac{{6368{\rm{km}} - 6267{\rm{km}}}}{{6368{\rm{km}}}} = \frac{{101{\rm{km}}}}{{6386{\rm{km}}}} = 0,016 = 1,6\% \]

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