Quantenobjekt Elektron

Quantenphysik

Quantenobjekt Elektron

  • Elektronen – mehr als Billardkugeln?
  • Wie verhalten sich Elektronen an einem Doppelspalt?
  • Wie groß ist die de BROGLIE-Wellenlänge?
  • Was ist der Welle-Teilchen-Dualismus?

Wellen oder Teilchen?

nach R. Sexl: Materie in Raum und Zeit

Sowohl mit Licht als auch mit Elektronenstrahlung gibt es Experimente, wovon die einen eher mit dem Wellenmodell, die anderen eher mit dem Teilchenmodell verständlich erklärt werden können. Aber was ist Licht oder Elektronenstrahlung nun wirklich? Welle oder Teilchen? Ein Physiker formulierte dieses Dilemma für das Licht schon fast resignierend: "Montag, Mittwoch und Freitag ist das Licht eine Welle, Dienstag, Donnerstag und Samstag ist es ein Teilchen und am Sonntag ruht es."

Roman Sexl führt in seinem Buch "Materie in Raum und Zeit" verschiedene Ansätze auf, wie man mit dem Dilemma fertig werden könnte:

  • Es gibt Widersprüche in der Natur mit denen man Leben muss. Die einander widersprechenden Welleneigenschaften und Teilcheneigenschaften sind Beispiele hierfür.

Dieser etwas fatalistische Ansatz wird nicht weiter verfolgt. Es ist plausibler, Widersprüche in unseren Theorien über die Natur zu suchen, als in der Natur selbst.

  • Es ist zweckmäßig, manchmal das eine Modell und manchmal das andere Modell zu bevorzugen. Evtl. sind für die Erklärung weiterer Phänomene noch andere Modelle notwendig.

Auch dieses beziehungslose Nebeneinander von Modellen, die nicht durch eine übergeordnete Theorie zu einer Einheit zusammengefasst sind, wird nicht weiter verfolgt.

  • Es gibt eine übergeordnete Theorie (Quantenphysik), welche geeignet ist, die Elemente der Mikrowelt (Quantenobjekte) zu beschreiben. Die Begriffe Welle und Teilchen sind an unserer „makroskopischen“ Erfahrung orientiert. Weder unsere Sinne noch unsere Sprache können die Mikrowelt geeignet erfassen. Die sehr unanschauliche, stark mathematisch orientierte und inzwischen äußerst erfolgreiche Quantentheorie ist mit den uns zur Verfügung stehenden mathematischen Mitteln nicht beherrschbar. Im Sinne des Lehrplans soll aber trotzdem auf dieser Stufe ein kleiner Einblick in die Gedankenwelt der Quantenphysik versucht werden.

In diesem Zusammenhang soll der berühmte Physiker und Nobelpreisträger Richard FEYNMAN zitiert werden:
In sehr kleinen Dimensionen verhalten sich die Dinge wie nichts, von dem wir unmittelbare Erfahrung haben. Sie verhalten sich nicht wie Wellen, nicht wie Teilchen . . . oder irgendetwas, was wir jemals gesehen haben.

Das Bild der modernen Physik wird maßgeblich durch die Quantentheorie bestimmt. Dass selbst große Physiker mit dieser Theorie (zumindest anfangs) auch größere Probleme hatten, zeigen die folgenden - für uns "Normalverbraucher" etwas tröstlichen " Zitate.

Albert EINSTEIN (1879-1955):
  • 1917 - Den Rest meines Lebens werde ich darüber nachdenken, was Licht ist!
  • 1951 - Fünfzig Jahre intensiven Nachdenkens haben mich der Antwort "Was ist Licht?" nicht näher gebracht.
  • In einem Brief an Max Born über die Wahrscheinlichkeitsaussagen der Quantenphysik: „Die Theorie liefert viel, aber dem Geheimnis des Alten (Gott) bringt sie uns doch nicht näher. Jedenfalls bin ich überzeugt davon, dass der nicht würfelt.

Richard FEYNMAN (1918 - 1988)

  • Ich denke, ich kann davon ausgehen, dass niemand die Quantenmechanik versteht.
  • „Es gab eine Zeit, als Zeitungen sagten, nur zwölf Menschen verständen die Relativitätstheorie. Ich glaube nicht, dass es jemals eine solche Zeit gab. Auf der anderen Seite denke ich, es ist sicher zu sagen, niemand versteht Quantenmechanik.“

Max BORN (1882 - 1970)

Der Nobelpreisträger Born schreibt in einem Brief an Einstein: "Die Quanten sind doch eine hoffnungslose Schweinerei."

Niels BOHR (1885 - 1962)

"Wenn mir Einstein ein Radiotelegramm schickt, er habe nun die Teilchennatur des Lichtes endgültig bewiesen, so kommt das Telegramm nur an, weil das Licht eine Welle ist."

Abbildungen auf dieser Seite:

Albert EINSTEIN: von Ferdinand Schmutzer [Public domain], via Wikimedia Commons
Richard FEYNMAN: By Copyright Tamiko Thiel 1984 (OTRS communication from photographer) [CC-BY-SA-3.0], via Wikimedia Commons
Max BORN: von Unbekannt [Public Domain], via Wikimedia Commons
Niels BOHR: von Unbekannt (http://www.dfi.dk/dfi/pressroom/kbhfortolkningen/) [Public domain], via Wikimedia Commons


von Unbekannt [Public domain], via Wikimedia Commons

Der französische Prinz Louis de BROGLIE stellte in seiner Dissertation "Recherche sur la theorie des quanta" im Jahre 1924 die These auf, dass nicht nur Licht Teilchen- und Wellenaspekte aufweist, sondern auch Elektronen und andere Objekte mit einer von Null verschiedenen Ruhemasse. Diese zunächst sehr spekulative Vermutung konnte 1927 durch DAVISSON und GERMER mit ihren Versuchen zur Elektronenbeugung an Metalloberflächen experimentell bestätigt werden.

Ist \(p_{\rm{e}}\) der Impuls des Elektrons, \(m_{\rm{e}}\) seine Masse und \(v_{\rm{e}}\) seine Geschwindigkeit, so ordnet man nach de BROGLIE den "Materiewellen"1 die folgende de-BROGLIE-Wellenlänge zu:
\[\lambda _{\rm{DB}} = \frac{h}{p_{\rm{e}}} = {\lambda _{DB}} = \frac{h}{{m_{\rm{e}} \cdot v_{\rm{e}}}}\]

Hinweis: Die obigen Beziehungen sind für Elektronen formuliert, sie gelten analog auch für andere Mikroobjekte wie Protonen, Neutronen usw.

1 Der Ausdruck "Materiewelle" ist nicht sehr glücklich gewählt, da man den Eindruck gewinnen könnte, dass hierbei etwas Materielles schwingt oder sich "wellt". Wir verwenden daher meist den Ausdruck "de-BROGLIE-Welle".

 

Die de-BROGLIE-Wellenlänge \(\lambda _{\rm{DB}}\) kann man als Übertragung der Eigenschaften des Photons, einem Quantenobjekt ohne Ruhemasse, auf Quantenobjekte mit Ruhemasse wie z.B. das Elektron ansehen. Ersetzt man nämlich in der bekannten Beziehung für das Photon
\[{{p_{{\rm{Ph}}}} = \frac{h}{\lambda } \Leftrightarrow \lambda  = \frac{h}{{{p_{{\rm{Ph}}}}}}}\]
den Impuls \(p_{\rm{Ph}}\) des Photons durch den Impuls \(p_{\rm{e}} = m_{\rm{e}} \cdot v_{\rm{e}}\) des Elektrons, so erhält man die obige Beziehung für die de-BROGLIE-Wellenlänge \(\lambda _{\rm{DB}}\).

Berechnung der de-BROGLIE-Wellenlänge aus der kinetischen Energie im nichtrelativistischen Fall

Nun soll die de-BROGLIE-Wellenlänge eines Elektrons aus dessen kinetischer Energie bestimmt werden. Dabei wird davon ausgegangen, dass das Elektron so langsam ist, dass man noch nichtrelativistisch rechnen darf.

Zunächst drückt man den Impuls \(p_{\rm{e}}\) durch die kinetische Energie \(E_{\rm{kin}}\) des Teilchens aus (nichtrelativistische Energie-Impuls-Beziehung):
\[{{E_{{\rm{kin}}}} = \frac{1}{2} \cdot {m_{\rm{e}}} \cdot {v_{\rm{e}}}^2 = \frac{1}{2} \cdot {m_{\rm{e}}} \cdot {v_{\rm{e}}}^2 \cdot \frac{{{m_{\rm{e}}}}}{{{m_{\rm{e}}}}} = \frac{{{m_{\rm{e}}}^2 \cdot {v_{\rm{e}}}^2}}{{2 \cdot {m_{\rm{e}}}}} = \frac{{{p_{\rm{e}}}^2}}{{2 \cdot {m_{\rm{e}}}}} \Leftrightarrow {p_{\rm{e}}} = \sqrt {2 \cdot {m_{\rm{e}}} \cdot {E_{{\rm{kin}}}}} }\]
Diesen für den Elektronenimpuls \(p_{\rm{e}}\) gewonnenen Ausdruck setzt man in die Formel für die de-BROGLIE-Wellenlänge \(\lambda _{\rm{DB}}\) ein und erhält den oft benutzten Ausdruck

\[{\lambda _{{\rm{DB}}}} = \frac{h}{{{p_{\rm{e}}}}} = \frac{h}{{\sqrt {2 \cdot {m_{\rm{e}}} \cdot {E_{{\rm{kin}}}}} }}\]

 

In der folgenden Tabelle sind die de-BROGLIE-Wellenlängen für Elektronen bei verschiedenen Beschleunigungsspannungen aufgelistet. Bei den Werten, welche mit einem Stern * versehen sind, wurde relativistisch gerechnet.

 
Elektronen
\[U\;{\rm{in}}\;{\rm{V}}\]
\[\frac{v}{c}\]
\[{\lambda _{DB}}\;{\rm{in}}\;{10^{ - 10}}{\rm{m}}\]
0,1
6,3·10-4
39
1
2,0·10-3
12
10
6,3·10-3
3,9
100
2,0·10-2
1,2
1000
6,3·10-2
0,39
10000
0,19*
0,12*
100000
0,55*
0,037*

Quantenobjekte, wie Photonen und Elektronen, sind weder klassische Teilchen noch klassische Wellen. Doch gibt es eine Reihe von Versuchen, die sich (wenigstens qualitativ) mit dem Wellenmodell, andere wiederum mit dem Teilchenmodell gut beschreiben lassen. Andererseits scheinen sich diese beiden Modelle zu widersprechen.

von Unbekannt [Public Domain], via Wikimedia Commons

Der deutsche Max BORN (1882 - 1970) versuchte im Jahre 1926 die beiden Modelle "unter einen Hut" zu bringen. Mit der Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Quantenphysik gelingt es ihm das "Rätsel des Dualismus" zu lösen. Für seine Verdienste erhielt er 1954 den Nobelpreis für Physik.

Die von Max Born wesentlich angestoßene Sicht der Quantenmechanik wird auch als "Statistische Deutung der Quantenmechanik" oder als "Kopenhagener Deutung" bezeichnet.

Die Quantenobjekte sind Teilchen (im Sinne der Quantenphysik), die immer als ganze Portionen auftreten. Es gibt keine halben Photonen oder "Viertel-Elektronen". Die Orte, an denen die Quantenobjekte z.B. beim Doppelspaltversuch in der Schirmebene nachgewiesen werden, sind nicht vorhersagbar. Die Bewegung der Quantenobjekte folgt Wahrscheinlichkeitsgesetzen.

Beobachtet man aber viele gleichartige Quantenobjekte (Ensemble) mit gleicher Energie, so stellt sich z.B. bei Photonen am Doppelspalt eine Häufigkeitsverteilung ein, die den gleichen Verlauf hat, wie die klassisch berechnete Intensitätsverteilung der Lichtwelle am Doppelspalt. Born spricht von einer sogenannten Wahrscheinlichkeitswelle (Ψ-Funktion), die selbst keine reale Bedeutung besitzt, deren Struktur aber von den Randbedingungen der Versuchsanordnung (z.B. Doppelspalt) und den Quantenobjekten (z.B. Art, Energie usw.) bestimmt wird. Allerdings kann dem Amplitudenquadrat der Wahrscheinlichkeitswelle eine reale Bedeutung beigemessen werden:

Das Amplitudenquadrat (Ψ2) der Wahrscheinlichkeitswelle in einem Raumelement ist proportional zur Wahrscheinlichkeit w, ein Teilchen in diesem Raumelement nachzuweisen.

 

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeitswelle erfolgt nach einer komplizierten Gleichung, die von Erwin SCHRÖDINGER aufgestellt wurde. Diese "Schrödinger-Gleichung" berücksichtigt die Eigenschaften der Versuchsanordnung (z.B. den Spaltabstand beim Doppelspalt) und der jeweiligen Quantenobjekte (z.B. Photonenenergie). Auf dem bisherigen mathematischen Niveau kann nicht näher auf die Schrödinger-Gleichung eingegangen werden.

Bei Max BORN dient also die Wellenvorstellung dazu, die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen, dass ein Quantenobjekt in einem bestimmten Raumelement nachgewiesen wird. Man darf sich allerdings diese Welle nicht wie eine reale Wasserwelle o.ä. vorstellen, sie ist ein abstraktes mathematisches Konstrukt.

Fazit: Die Quantenmechanik macht statistische Aussagen über die relative Häufigkeit der Ergebnisse bei oftmaliger Wiederholung des gleichen Experiments. Diese statistischen Aussagen sind reproduzierbar.

Der Physik-Nobelpreisträger Richard P. Feynman versuchte einem breiten Publikum die Besonderheiten der quantenphysikalischen Objekte wie Photon und Elektron an der einfachen Versuchsanordnung "Doppelspalt" zu erklären. Diesem Weg werden wir im weiteren folgen (Feynman: Vom Wesen physikalischer Gesetze, Piper-Verlag). Darüber hinaus hat sich in der deutschsprachigen Didaktik in den letzten Jahren die Beschreibung von Wesenszügen von Quantenobjekten heraus kristallisiert (Prof. Müller, Dr. Kübelbeck: Die Wesenszüge der Quantenphysik, Aulis-Verlag) auch auf diese Wesenszüge werden wir kurz eingehen.

1. Beschuss des Doppelspalts mit klassischen Teilchen

Der Doppelspalt wird mit einer Schrotflinte sehr schlechter Bauart beschossen. Die resultierende "Kugelintensität" in der Nachweisebene ergibt sich aus der Addition der Einzelintensitäten.

Einzelne klassische Teilchen gehen beim Doppelspaltexperiment entweder durch den linken oder den rechten Spalt. Es ist nicht von Belang, ob der jeweils andere Spalt geöffnet ist.

2. Doppelspaltversuch mit klassischen Wellen (z.B. Wasserwellen)

Die resultierende Intensität bei der Öffnung beider Spalte ergibt sich nicht (ähnlich wie beim Experiment mit klassischen Teilchen) durch Addition der Einzelintensitäten.

Wird die Intensität der auf den Doppelspalt auftreffenden Strahlung extrem verkleinert, so entsteht in der Nachweisebene trotzdem ein Interferenzmuster, das allerdings sehr schwach ausgeprägt ist.

3. Doppelspaltversuch mit Photonen bzw. Elektronen

Der Doppelspaltversuch mit Licht von Young (bei nicht zu geringen Intensitäten) aber auch der Doppelspaltversuch mit Elektronen von Jönsson (mit nicht zu geringen Intensitäten) zeigt das bereits bekannte Interferenzmuster.

Während wir die Interferenzerscheinung beim Doppelspaltversuch mit Licht mit der Wellenvorstellung recht gut deuten konnten (Photonen waren uns zu diesem Zeitpunkt noch nicht bekannt), erregte das Interferenzmuster bei den Elektronen doch Aufsehen. Bisher kamen wir mit der Vorstellung, dass sich Elektronen wie klassische Teilchen verhalten gut zu Rande.

Führt man den Doppelspaltversuch mit Licht (Taylor, Weis und Waynands) bzw. Elektronen (Merli, Pozzi et.al. bzw. Tonomura) bei extrem geringen Intensitäten durch, so werden die in der Nachweisebene ankommenden Objekte nie gleichzeitig an verschiedenen Stellen nachgewiesen, sie treffen zu einer bestimmten Zeit nur an einem bestimmten Ort auf. Die Objekte die da ankommen treten "stückweise", in stets der gleichen Größe auf, ihre Auftrefforte scheinen zunächst regellos verteilt zu sein. Und doch, wartet man genügend lange, stellt sich das bekannte Interferenzmuster ein. 

Hinweis:
Kurzzeitig versuchte man das Dilemma dadurch zu lösen, dass man den für die Photonen bzw. Elektronen Wellenpakete annahm. Jedoch erwies sich dieser Ansatz als nicht richtig.
Fazit:
Photonen, Elektronen und viele anderen Objekte aus der Mikrowelt verhalten sich weder wie klassische Teilchen noch wie klassische Wellen. Man bezeichnet Sie als Quantenobjekte.

Zusammenfassung

Klassische Teilchen

Teilchen kommen stückweise an
Gemessen wird die Wahrscheinlichkeit des Eintreffens
Nres = N1 + N2
Es kommt zu keiner Interferenz!

Klassische Wellen

Wellen können jede Intensität besitzen
Gemessen wird die Intensität der Wellen
Ires ≠ I1 + I2
Es kommt zur Interferenz!

Quantenobjekte

Objekte kommen stückweise an
Gemessen wird die Wahrscheinlichkeit des Eintreffens
Nres ≠ N1 + N2
Es kommt zur Interferenz!

4. Wegentscheidung zerstört Interferenz von Quantenobjekten

Um entscheiden zu können, durch welchen Spalt ein Elektron fliegt, kann man sich in einem Gedankenexperiment eine Lichtquelle hinter den Doppelspalt eingebaut denken. Kommt z.B. ein Elektron durch Spalt 1, dann sollte vom Auge in der skizzierten Lage ein Reflex wahrnehmbar sein.

Das Ergebnis aller Experimente bei denen eine Wegentscheidung für ein Quantenobjekt ermöglicht wurde, war die Zerstörung der Interferenz. Feynman schreibt:
"Es ist unmöglich, irgendeine Vorrichtung zu ersinnen, die imstande wäre festzustellen, welches Loch ein Elektron (Quantenobjekt) passiert, ohne gleichzeitig das Elektron so zu stören, dass das Interferenzmuster zerstört wird."

Hinweis:
Gut lesbar ist ein Auszug aus dem Büchlein von Robert Gilmore: Die geheimnisvollen Visionen des Herrn S. aus dem Birkhäuser-Verlag, Basel

Keine Teilchenbahn in der Mikrophysik
Interferenz tritt also nur dann auf, wenn wir nicht wissen, durch welchen Spalt das Quantenobjekt zum Schirm gelangte. Dies führt dazu, dass man für Quantenobjekte den klassischen Begriff "Teilchenbahn" nicht verwenden kann.
Dr. Hübel schreibt: Es ist physikalisch sinnlos, von einem Weg des Teilchens von der Quelle zum Nachweisort auf dem Schirm zu sprechen. Ja, noch schärfer: Das Teilchen tritt erst auf, wenn wir es auf dem Schirm nachweisen. Vorher hat es keinen Sinn, ihm irgendein Verhalten oder irgendwelche Eigenschaften zuzuschreiben, es sei denn, diese werden in einem Experiment gemessen. Aber dann verschwindet die Interferenz.

Sehr pointiert werden die Eigenschaft von Quantenobjekten in dem Buch von Prof. Dr. Müller und Dr. Kübelbeck: Die Wesenszüge der Quantenphysik, (Aulis-Verlag) dargestellt. Im Folgenden werden die vier Wesenszüge kurz dargestellt. Wer sich intensiver für diese Wesenszüge interessiert möge das Büchlein lesen oder für einen ersten Überblick den Artikel von Prof. Müller bei piko studieren.

Wesenszug 1: Statistisches Verhalten

a) In der Quantenphysik können Einzelereignisse im Allgemeinen nicht vorhergesagt werden.
b) Bei vielen Wiederholungen ergibt sich jedoch eine Verteilung, die – bis auf stochastische Schwankungen – reproduzierbar ist.

Wesenszug 2: Fähigkeit zur Interferenz

Auch einzelne Quantenobjekte können zu einem Interferenzmuster beitragen. Voraussetzung ist, dass es für das Eintreten des gleichen Versuchsergebnisses mehr als eine klassisch denkbare Möglichkeit gibt.
Erläuterung:
Beim Doppelspalt bedeutet dies, dass ein Photon durch den oberen Spalt 1 (Möglichkeit 1) oder durch den unteren Spalt 2 (Möglichkeit 2) zum Schirmpunkt X gelangt. Das Ergebnis des Versuchs, der Nachweis eines Photons am Schirmpunkt X, ist in beiden Fällen das gleiche.

Wesenszug 3: Eindeutige Messergebnisse

Messergebnisse sind stets eindeutig, auch wenn sich das Quantenobjekt vor der Messung in einem Zustand befindet, der unbestimmt bezüglich der gemessenen Größe ist.
Erläuterung:
Die Lichtquelle hinter dem Doppelspalt ermöglicht eine genaue Ortsmessung für ein Photon bzw. Elektron (vgl. 4. Wegentscheidung . . . ). Vor der Messung war der Ort des Elektrons nicht bekannt. Man sagt dazu auch: Die Elektronen besaßen die Eigenschaft "Ort" nicht.

Wesenszug 4: Komplementarität

 

Interferenzmuster und Unterscheidbarkeit der klassisch denkbaren Möglichkeiten schließen sich aus.
Erläuterung:
Bezogen auf den Doppelspalt bedeutet "Unterscheidbarkeit der klassisch denkbaren Möglichkeiten": Man weiß durch eine geeignete Vorrichtung, ob das Quantenobjekt durch den oberen oder unteren Spalt gegangen ist. Wie oben ausgeführt wurde, verschwindet dann das Interferenzmuster. Ortseigenschaft und Interferenzmuster sind nicht gleichzeitig realisierbar, sondern schließen sich gegenseitig aus. Dies ist ein Spezialfall eines allgemeinen Prinzips, das man nach Niels Bohr Komplementarität nennt.

In seiner berühmten Arbeit, die 1927 veröffentlicht wurde, gelangte Werner HEISENBERG (1901 - 1976) nach Überlegungen, die an der Schule in der Regel nicht nachvollzogen werden können, zu folgender Feststellung:

Ort und Impuls eines Teilchens können prinzipiell nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmt werden. Mit anderen Worten: Eine gleichzeitige Bestimmung von Ort und Impuls eines Teilchens ist nur möglich, wenn für beide Größen eine Unschärfe in Kauf genommen wird. Dabei gilt stets die Ungleichung: \[\Delta x \cdot \Delta {p_x} \ge \frac{h}{{4\pi }}\] Anmerkung: In der Literatur finden sich für die rechte Seite dieser Ungleichung verschiedene Werte. Wesentlich ist dabei die Größenordnung!

Erläuterungen

  • \(\Delta x\) ist die Unsicherheit in der Angabe des Ortes \(x\)
  • \(\Delta {p_x}\) ist die gleichzeitig vorhandene Unsicherheit in der Angabe des Impulses \({p_x}\)
  • \(h\) ist das plancksche Wirkungsquantum
  • Ähnliche Unschärferelationen gibt es auch für die anderen Raumrichtungen, d.h. \(\Delta y \cdot \Delta {p_y} \ge \frac{h}{{4\pi }}\) und \(\Delta z \cdot \Delta {p_z} \ge \frac{h}{{4\pi }}\)

Eine einfache Ortsbestimmung eines Photonen- oder Elektronenbündels lässt sich mit einem Spalt (Spaltbreite \(\Delta x\)) machen.
Aus der nebenstehenden Simulation sieht man:

  • Für einen breiten Spalt (große Ortsunschärfe) ergibt sich eine relativ kleine Impulsunschärfe (kleiner Öffnungswinkel des Bündels nach dem Spalt).
  • Für einen schmalen Spalt (kleine Ortsunschärfe) ergibt sich eine relativ große Impulsunschärfe (großer Öffnungswinkel des Bündels nach dem Spalt).

Eine stark vereinfachende Ableitung der Orts-Impuls-Unschärferelation können besonders Interessierte betrachten.

Diese Herleitung ergab auf der rechten Seite der Unschärferelation eine etwas andere Konstante. Dies ist aber nicht so entscheidend: wichtig ist nur die Erkenntnis, dass das Produkt aus den Unschärfen von Ort und Impuls nicht beliebig klein werden kann. Mit anderen Worten:

Man kann den Ort und den Impuls von Quantenobjekten gleichzeitig nicht beliebig genau bestimmen.

Diese Erkenntnis ist gleichbedeutend mit dem Abschied von der klassischen Bahnvorstellung bei Quantenobjekten, da die Beschreibung einer Bahn die gleichzeitige präzise Kenntnis von Ort und Impuls eines Objekts voraussetzt.

Niels BOHR entwickelte das nach ihm benannte BOHRsche Atommodell. Nach BOHRs Vorstellung bewegt sich im Grundzustand des Wasserstoffatoms das Elektron auf einer Kreisbahn mit dem Radius \({r_e} = 0,53\cdot{10^{ - 10}}m\) um den Kern. Die Geschwindigkeit des Elektrons auf dieser Kreisbahn beträgt \({v_e} = {\rm{ }}2,2\cdot{10^6}\frac{m}{s}\). Hinweis: Im Sinne der Quantenphysik ist diese Vorstellung von einer Elektronenbahn um den Kern nicht mehr zulässig, das Modell von BOHR also überholt. Trotzdem lieferten die Ansätze von BOHR sehr gute Ergebnisse bei der Deutung des Wasserstoffspektrums.

Bestimme mit Hilfe der HEISENBERGschen Unschärferelation die Unbestimmtheit in der Geschwindigkeit \(\Delta v\), wenn du von einer Ortsunschärfe ausgehst, die dem Durchmesser der BOHRschen Bahn im Grundzustand entspricht.

Außer der oben angegebenen Unschärferelation für Ort und Impuls gelten noch weitere Relationen ähnlichen Typs. Eine wichtige Unschärferelation besteht zwischen der Dauer \(\Delta t\) eines Vorgangs und der Genauigkeit \(\Delta E\), mit der die Energie der beteiligten Teilchen festgelegt ist:

\[\Delta E \cdot \Delta t \ge \frac{h}{{4\pi }}\]
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