Im Grundwissen haben wir hergeleitet, dass die Bewegung eines gedämpften Federpendels durch die Differentialgleichung\[\ddot x(t) +\frac{k}{m} \cdot \dot x(t) + \frac{D}{m} \cdot x(t) = 0\quad (***)\]beschrieben wird. Die Theorie der Differentialgleichungen besagt nun, dass es für verschiedene Werte der Parameter \(m\), \(D\) und \(k\) verschiedene Lösungsfunktionen gibt.
Dass die Lösungsfunktion, die im Grundwissen angegeben wurden, korrekt sind sollst du in dieser Aufgabe nachvollziehen. Dabei kann dir ein Computeralgebrasystem wie z.B. GeoGebra CAS gute Dienste leisten. Mit wenigen Befehlen kannst du die Rechnungen online selbst durchführen.
Wir setzen zuerst \(\omega _0 = \sqrt {\frac{D}{m}} \), \(\delta = \frac{k}{2 \cdot m}\). Damit unterscheiden wir drei Fälle.