Auf einer Straßenkreuzung in der Stadt wurde zur Verkehrsregelung eine Ampelanlage eingebaut und auf einer Seite eine Rotlichtkamera angebracht (Informationen zu Rotlichtampeln finden Sie hier). Zwei Monate später zeigte die Bilanz viele Rotlichtübertretungen. Dabei fiel auf, dass es nicht die schnellen und auch nicht die langsamen Autos gewesen sind, die mit der Kamera registriert wurden. Vielmehr blieben Autofahrer hängen, die ihre Geschwindigkeit von den erlaubten \(50\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) etwas mäßigten und mit ca. \(40\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) auf die Kreuzung fuhren. Die Stadtverwaltung will nun Aufschluss über die Hintergründe und Vorschläge für Maßnahmen. Ein Auftrag wird an ein Ingenieurbüro erteilt. Dazu werden folgende Annahmen gemacht:
Ein Auto fährt mit \(40\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) auf die Kreuzung zu. Wenn sich das Auto \(22\,{\rm{m}}\) vor der Ampel (Haltelinie) befindet, schaltet die Ampel auf gelb, \(3\,{\rm{s}}\) später erscheint rot. Der Weg über die Kreuzung beträgt \(13\,{\rm{m}}\). Der Autofahrer hat beim Erscheinen von Gelb zwei Möglichkeiten:
1. Er kann mit konstanter Geschwindigkeit weiter über die Kreuzung fahren.
2. Er kann nach einer Reaktionszeit von \(1{,}0\,{\rm{s}}\) mit \(5{,}0\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\) abbremsen.
Hinweis: Bei allen Berechnungen kann das Auto als Massenpunkt betrachtet werden.
a)Überprüfen Sie mit Rechnung, dass sich das Auto während der Rotphase in beiden Fällen im verbotenen Kreuzungsbereich befindet.
b)Machen Sie einen Vorschlag für die Entschärfung des Problems und belegen Sie ihren Vorschlag mit Berechnungen.
a)1. Möglichkeit: Weiterfahrt mit \(40\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) (ca. \(11\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\))
Während der Gelbphase legt das Auto die Strecke
\[{x^*} = v \cdot t \Rightarrow {x^*} = 11\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 3{,}0\,{\rm{s}} = 33\,{\rm{m}}\]
zurück. Es hat also die Haltelinie um \(33{\rm{m}} - 22{\rm{m}} = 11{\rm{m}}\) überschritten, befindet sich also noch im Kreuzungsbereich. 2. Möglichkeit: Abbremsung nach Schrecksekunde
Während der Schrecksekunde legt das Auto die Strecke
\[{x_S} = v \cdot {t_S} \Rightarrow {x_S} = 11\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 1{,}0\,{\rm{s}} = 11\,{\rm{m}}\]
zurück. In den verbleibenden \(2,0{\rm{s}}\) legt das Auto die zusätzliche Strecke
\[{x_B} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot {t_B}^2 + v \cdot {t_B} \Rightarrow {x_B} = \frac{1}{2} \cdot \left( { - {\rm{5}}{\rm{,0}}\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}} \right) \cdot {\left( {2,0{\rm{s}}} \right)^2} + 11\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 2,0{\rm{s}} = - 10\,{\rm{m}} + 22\,{\rm{m}} = 12\,{\rm{m}}\]
zurück. Es legt also beim Abbremsen \(11\,{\rm{m}} +12\,{\rm{m}} = 23\,{\rm{m}}\) zurück und befindet sich nun \(1\,\rm{m}\) im Kreuzungsbereich.
b)Um beim Weiterfahren mit der Geschwindigkeit \(40\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) noch aus der Kreuzungszone kommen zu können, wäre eine Verlängerung der Gelb-Phase sinnvoll. Schon bei einer Dauer der Gelb-Phase von \(t' = \frac{{22{\rm{m}} + 13{\rm{m}}}}{{11\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = 3{,}2\,{\rm{s}}\) könnte das Auto den Kreuzungsbereich verlassen.
Eine Verlängerung der Gelb-Phase bringt aber für die 2. Möglichkeit keinen Gewinn. Hier könnte man mit einer Geschwindigkeitsbeschränkung z.B. auf \(30\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) zum Ziel kommen. Eine analoge Rechnung wie bei Teilaufgabe a) führt zu einem Gesamtbremsweg von ca. \(15\,\rm{m}\).
