Kreisbewegung

Aufgabe

Betrag der Zentripetalkraft mit Winkelgeschwindigkeit - Formelumstellung

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Um Aufgaben rund um den Betrag der Zentripetalkraft mit der Winkelgeschwindigkeit zu lösen musst du häufig die Gleichung \(F_{\rm{ZP}}=m \cdot \omega^2 \cdot r\) nach einer Größe, die unbekannt ist, auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in der folgenden Animation.

Auflösen von\[{{F_{\rm{ZP}}}} = {{m}} \cdot {{\omega}}^2 \cdot {{r}}\]nach ...

Die Gleichung\[{\color{Red}{{F_{\rm{ZP}}}}} = {{m}} \cdot {{\omega}}^2 \cdot {{r}}\]ist bereits nach \({\color{Red}{{F_{\rm{ZP}}}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.

Um die Gleichung\[{{F_{\rm{ZP}}}} = {\color{Red}{{m}}} \cdot {{\omega}}^2 \cdot {{r}}\]nach \({\color{Red}{{m}}}\) aufzulösen, musst du zwei Umformungen durchführen:

Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[ {\color{Red}{{m}}} \cdot {{\omega}}^2 \cdot {{r}} = {{F_{\rm{ZP}}}}\]

Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {{\omega}}^2 \cdot {{r}}\). Kürze direkt das \( {{\omega}}^2 \cdot {{r}}\) auf der linken Seite der Gleichung.\[{\color{Red}{{m}}} = \frac{{{F_{\rm{ZP}}}}}{ {{\omega}}^2 \cdot {{r}}}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red}{{m}}}\) aufgelöst.

Um die Gleichung\[{{F_{\rm{ZP}}}} = {{m}} \cdot {\color{Red}{{\omega}}}^2 \cdot {{r}} \]nach \({\color{Red}{{\omega}}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:

Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[ {{m}} \cdot {\color{Red}{{\omega}}}^2 \cdot {{r}} = {{F_{\rm{ZP}}}}\]

Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {{m}} \cdot {{r}}\). Kürze direkt das \( {{m}} \cdot {{r}}\) auf der linken Seite der Gleichung.\[{\color{Red}{{\omega}}}^2 = \frac{{{F_{\rm{ZP}}}}}{ {{m}} \cdot {{r}}}\]

Ziehe auf beiden Seiten der Gleichung die Quadratwurzel.\[{\color{Red}{{\omega}}} = \sqrt{\frac{{{F_{\rm{ZP}}}}}{ {{m}} \cdot {{r}}}}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red}{{\omega}}}\) aufgelöst.

Um die Gleichung\[{{F_{\rm{ZP}}}} = {{m}} \cdot {{\omega}}^2 \cdot {\color{Red}{{r}}}\]nach \({\color{Red}{{r}}}\) aufzulösen, musst du zwei Umformungen durchführen:

Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[ {{m}} \cdot {{\omega}}^2 \cdot {\color{Red}{{r}}} = {{F_{\rm{ZP}}}}\]

Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \( {{m}} \cdot {{\omega}}^2\). Kürze direkt das \( {{m}} \cdot {{\omega}}^2\) auf der linken Seite der Gleichung.\[{\color{Red}{{r}}} = \frac{{{F_{\rm{ZP}}}}}{ {{m}} \cdot {{\omega}}^2}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red}{{r}}}\) aufgelöst.

Abb. 1 Schrittweises Auflösen der Formel für den Betrag der Zentripetalkraft mit Winkelgeschwindigkeit bei der gleichförmigen Kreisbewegung nach den vier in der Formel auftretenden Größen

Die Trommel einer Zentrifuge mit dem Radius \(25\,\rm{cm}\) dreht sich horizontal mit einer Winkelgeschwindigkeit von \(250\,\frac{1}{\rm{s}}\).

Berechne den Betrag der Zentripetalkraft, mit der ein Wasserteilchen der Masse \(1{,}0\,\rm{g}\) vom Stoffgewebe in der Zentrifuge festgehalten werden müsste, um nicht "wegzufliegen".

In einem klassischen Atommodell umkreist das Elektron eines Wasserstoffatoms das Proton mit dem Bahnradius \(0{,}50 \cdot 10^{-10}\,\rm{m}\) und der Winkelgeschwindigkeit \(4{,}4\cdot 10^{16}\,\frac{1}{\rm{s}}\). Das Elektron erfährt dabei eine Zentripetalkraft vom Betrag \(8{,}8 \cdot 10^{-8}\,\rm{N}\).

Berechne aus diesen Angaben die Masse des Elektrons.

Auf dem Rande der runden, horizontalen Scheibe eines Drehschemels mit dem Radius \(25\,\rm{cm}\) liegt ein Holzklotz der Masse \(600\,\rm{g}\). Der Holzklotz wird auf der Scheibe durch die Haftreibung vom Betrag \(2{,}0\,\rm{N}\) festgehalten.

Berechne, bei welcher Winkelgeschwindigkeit der Klotz von der Scheibe gleitet.

In einem Trainingszentrum für Astronautinnen soll mit Hilfe einer Humanzentrifuge auf eine Kandidatin der Masse \(65\,\rm{kg}\) eine Zentripetalkraft vom Betrag \(2600\,\rm{N}\) wirken. Die Zentrifuge rotiert mit der maximalen Winkelgeschwindigkeit \(2{,}0\,\frac{1}{\rm{s}}\).

Berechne, wie lang der Arm der Zentrifuge sein muss.

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Mit \(m=1{,}0\,\rm{g}=1{,}0 \cdot 10^{-3}\,\rm{kg}\), \(\omega=250\,\frac{1}{\rm{s}}\) und \(r=25\,\rm{cm}=0{,}25\,\rm{m}\) nutzen wir die Formel für den Betrag der Zentripetalkraft mit Winkelgeschwindigkeit\[F_{\rm{ZP}}=m \cdot \omega^2 \cdot r\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (bei zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[F_{\rm{ZP}}=1{,}0 \cdot 10^{-3}\,\rm{kg} \cdot \left(250\,\frac{1}{\rm{s}}\right)^2 \cdot 0{,}25\,\rm{m}=16\,\rm{N}\]

Mit \(F_{\rm{ZP}}=8{,}8 \cdot 10^{-8}\,\rm{N}\), \(\omega=4{,}4\cdot 10^{16}\,\frac{1}{\rm{s}}\) und \(r=0{,}50 \cdot 10^{-10}\,\rm{m}\) nutzen wir die Formel für den Betrag der Zentripetalkraft mit Winkelgeschwindigkeit\[F_{\rm{ZP}}=m \cdot \omega^2 \cdot r \Leftrightarrow m=\frac{F_{\rm{ZP}}}{\omega^2 \cdot r}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (bei zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[m=\frac{8{,}8 \cdot 10^{-8}\,\rm{N}}{\left(4{,}4\cdot 10^{16}\,\frac{1}{\rm{s}}\right)^2 \cdot 0{,}50 \cdot 10^{-10}\,\rm{m}}=9{,}1 \cdot 10^{-31}\,\rm{kg}\]

Mit \(F_{\rm{ZP}}=2{,}0\,\rm{N}\), \(m=600\,\rm{g}=0{,}600\,\rm{kg}\) und \(r=25\,\rm{cm}=0{,}25\,\rm{m}\) nutzen wir die Formel für den Betrag der Zentripetalkraft mit Winkelgeschwindigkeit\[F_{\rm{ZP}}=m \cdot \omega^2 \cdot r \Rightarrow \omega=\sqrt{\frac{F_{\rm{ZP}}}{m \cdot r}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (bei zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[\omega=\sqrt{\frac{2{,}0\,\rm{N}}{0{,}600\,\rm{kg} \cdot 0{,}25\,\rm{m}}}=3{,}7\,\frac{1}{\rm{s}}\]

Mit \(F_{\rm{ZP}}=2600\,\rm{N}\), \(m=65\,\rm{kg}\) und \(\omega=2{,}0\,\frac{1}{\rm{s}}\) nutzen wir die Formel für den Betrag der Zentripetalkraft mit Winkelgeschwindigkeit\[F_{\rm{ZP}}=m \cdot \omega^2 \cdot r \Leftrightarrow r=\frac{F_{\rm{ZP}}}{m \cdot \omega^2}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (bei zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[r=\frac{2600\,\rm{N}}{65\,\rm{kg} \cdot \left(2{,}0\,\frac{1}{\rm{s}}\right)^2}=10\,\rm{m}\]

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