Kraft und das Gesetz von HOOKE

Mechanik

Kraft und das Gesetz von HOOKE

  • Wie werden im Alltag Kräfte gemessen?
  • Wie funktioniert eine Federwaage?
  • Biegt sich eine Betondecke eigentlich durch, wenn man auf ihr steht?
  • Was versteht man unter einer Zerreißprobe?

Theorie

Das Gesetz von HOOKE beschreibt die Wirkung einer Kraft auf elastische Körper (dies sind solche, die nach der Belastung in ihre ursprüngliche Lage zurückgehen).

Die linksstehend aufgehängte Feder habe ohne äußere Belastung (es wirkt nur das Eigengewicht \({F_0}\)) die Länge \({x_0}\). Belastet man die Feder so, dass insgesamt die Kraft \(F\) (inklusive Eigengewicht) wirkt, dann habe die Feder nun die Länge \(x\).
Versuche zeigen, dass der Quotient aus Kraftzunahme und Längenzunahme der Feder konstant ist. Diese Konstante wird als Federhärte oder Federkonstante \(D\) bezeichnet.
\[D = \frac{{\rm{Kraftänderung}}}{{\rm{Längenänderung}}}\]
\[D = \frac{{F - {F_0}}}{{x - {x_0}}} = \frac{{\Delta F}}{{\Delta x}}\]
Gesetz von HOOKE

Hinweise:

  • Mit \(\Delta \) bezeichnet man in der Physik Differenzen zwischen zwei gleichartigen physikalischen Größen:
    \(\Delta x\) = Endwert einer Länge - Anfangswert einer Länge
    \(\Delta F\) = Endwert einer Kraft - Anfangswert einer Kraft
  • \(\Delta x\) ist auf keinen Fall mit der Federlänge zu verwechseln.

  • Der Gültigkeitsbereich des hookschen Gesetzes ist (wie der eines jeden physikalischen Gesetzes) beschränkt. So kann man nach Hooke z.B. nicht die Verlängerung einer in der Schule üblichen Schraubenfeder berechnen, wenn man sie mit \(4000N\) belastet.
  • Bei vielen Aufgaben ist die Masse m des Körpers gegeben, mit der die Feder zusätzlich belastet wird. Um das Gesetz von Hooke anwenden zu können, musst du zuerst die Gewichtskraft \({F_g}\) des Körpers nach der Beziehung \({F_g} = m \cdot g\) berechnen. Dabei bedeutet \(g\) die Erdbeschleunigung.

Eine unbelastete Feder der Länge \({{x_0} = 15{\rm{cm}}}\) wird bei einer Belastung von \({{F_1} = 0,60{\rm{N}}}\) auf die Länge \({{x_1} = 25{\rm{cm}}}\) gedehnt.

  1. Berechne die Federhärte \(D\) der Feder.

  2. Berechne, mit welcher Kraft \(F_2\) man an der Feder ziehen muss, damit sie dann eineinhalbmal so lang ist wie im unbelasteten Fall.

  3. Mit obiger Feder soll ein geeichter Kraftmesser gebaut werden. Berechne, um welche Strecke \(\Delta x'\) die Markierung der Hülse für \({{F_3} = 0,40{\rm{N}}}\) vom unteren Ende der Hülse entfernt sein muss.

  4. Nenne zwei Gründe, die gegen die Verwendung eines "Gummikraftmessers" sprechen.

Die dynamische Kraftmessung ist mit einem erheblichen Aufwand verbunden. Wesentlich schneller lässt sich der Betrag einer Kraft mit Hilfe eines elastischen Körpers (z.B. Gummiband oder Schraubenfeder) bestimmen.

Hinweis:
Ein elastischer Körper geht nach der Ausdehnung durch eine Belastung wieder in seine Ausgangslage zurück, wenn die belastende Kraft nicht mehr wirkt.


Wir gehen davon aus, dass durch dynamische Kraftmessung die Gewichtskraft von verschiedenen Zugkörpern bestimmt worden ist. Es sollen z.B. Zugkörper mit den Gewichtskräften 1 N, 2 N und 3N zur Verfügung stehen. Hängt man jeweils einen dieser Zugkörper an die Feder, so wird diese so weit gedehnt, bis Gleichgewicht zwischen der nach unten gerichteten Gewichtskraft Fg des Zugkörpers und der nach oben gerichteten Federkraft Ff der gedehnten Feder herrscht.
Jeder Zugkraft entspricht auf eindeutige Weise eine bestimmte Verlängerung der Feder und umgekehrt. Man kann also mit Hilfe eines elastischen Körpers die Kraftmessung auf eine Längenmessung zurückführen.
Bevor die Gewichtsmessung eines unbekannten Körpers mit einer Feder möglich ist, muss diese zunächst mit den Zugkörpern bekannter Gewichtskraft kalibriert werden. Die folgende Animation veranschaulicht die Vorgehensweise.

 

Hinweise

  • Bei einem elastischen Körper (z.B. Gummiband) muss es nicht so sein, dass es bei doppelter Belastung zur doppelten Dehnung (bei dreifacher Belastung zur dreifachen Dehnung . . . .) kommt.
  • In Mitteleuropa kann man einen relativ präzisen 1-Newton-Körper (genauer: Körper mit der Gewichtskraft 1 N) gewinnen, wenn man einen Körper mit der Masse 100 g (z. B. Schokoladentafel) verwendet.

Wie ein statischer Kraftmesser aufgebaut ist findet man unter statischer Kraftmesser.

Die statische Kraftmessung erfordert einen wesentlich geringeren Aufwand als die dynamische Kraftmessung. Trotzdem sind bei der dargestellten statischen Kraftmessung noch kleinere Schwierigkeiten zu beheben:

  • Die getrennt von der Feder aufgebaute Skala darf in ihrer Lage zur Feder (in vertikaler Richtung) nicht verändert werden.
  • Die Kraftmessung in einer Richtung, die von der Vertikalen abweicht, bereitet Schwierigkeiten.

Fügt man die Feder und die Skala zu einem Gerät zusammen, so lassen sich die oben geschilderten Nachteile beheben.

Hinweise
  • Beim Arbeiten mit Kraftmessern (vielfach wird dieses Gerät auch als Federwaage bezeichnet) muss stets darauf geachtet werden, dass der Nullpunkt im unbelasteten Fall richtig eingestellt ist. Stimmt der Nullpunkt nicht, so kann die Schraube, mit der die äußere Hülle am Halter (grau) befestigt ist, gelöst und die äußere Hülle verschoben werden. Stimmt der Nullpunkt, so wird die Schraube wieder fest gezogen.
    Bei manchen Kraftmessern erfolgt die Nullpunktskorrektur über eine Hülse, die noch zusätzlich über die äußere Hülle geschoben ist.
  • Beachte, dass die Nullpunktseinstellung stark von der Lage des Kraftmessers abhängt. Ist z.B. der Nullpunkt bei der oben skizzierten vertikalen Lage korrekt eingestellt, so stimmt er bei einem schräg ziehenden Kraftmesser nicht mehr und muss daher wieder korrigiert werden.
  • Je nach Anwendung verwendet man Kraftmesser mit unterschiedlichem Messbereich. Sehr empfindliche Kraftmesser arbeiten im mN-Bereich, es gibt auch Federkraftmesser im kN-Bereich.
  • Um eine Überdehnung der Feder zu verhindern, besitzen manche Kraftmesser eine Sperre, die dafür sorgt, dass die Feder samt Skala nicht beliebig weit aus der äußeren Hülle gezogen werden kann.
Bespiele von verschieden ausgeführten Kraftmessern

Messbereich 5 N
(Leybold)

Messbereich 250 N

Torsionskraftmesser*
Messbereich 1N
* Bei einem "linearen" Kraftmesser wird eine Schraubenfeder längs ihrer Achse gedehnt. Beim Torsionskraftmesser wird eine Blattfeder-Spirale verdrillt (vgl. Unruh bei einer mechanischen Taschenuhr).

Wie man einen Kraftmesser abliest, findet man unter Ablesen eines Kraftmessers.

In der nebenstehenden Abbildung sind fünf Kraftmesser mit fünf verschiedenen Messbereichen dargestellt. Wie man die Kraftmesser richtig abliest, soll dir an zwei Beispielen dargestellt werden.

Beispiel 1: Kraftmesser A

Der Vollausschlag ist \({5{\rm{N}}}\). Offensichtlich besteht die Skala aus fünf Abschnitten, die abwechselnd rot und weiß eingefärbt sind. Ein Abschnitt stellt also \({1{\rm{N}}}\) dar. Von der Skala ist ein ganzer roter Abschnitt herausgezogen (entspricht \({1{\rm{N}}}\)) und 9 Teile eines weißen Abschnitts (entspricht \({0,9{\rm{N}}}\)). Somit zeigt der Kraftmesser eine Kraft von \(1\rm{N}+0,9\rm{N}=1,9\rm{N}\) an.

Beispiel 2: Kraftmesser D

Der Vollausschlag ist \(10\rm{N}\). Offensichtlich besteht die Skala aus zehn Abschnitten, die abwechselnd rot und weiß eingefärbt sind. Ein Abschnitt stellt also \(1\rm{N}\) dar. Von der Skala sind zwei ganze rote und zwei ganze weiße Abschnitte herausgezogen (entspricht \(4\rm{N}\)) und 3 Teile eines weißen Abschnitts (entspricht \(0,3\rm{N}\)). Somit zeigt der Kraftmesser eine Kraft von \(4\rm{N}+0,3\rm{N}=4,3\rm{N}\) an.

Aufgabe

a)

Lies Kraftmesser B richtig ab.

b)

Lies Kraftmesser C richtig ab.

c)

Lies Kraftmesser E richtig ab.

Eine physikalische Größe kann als Produkt von Zahlenwert und Einheit aufgefasst werden: \(D=10\frac{N}{m}\) kann auch in der Form \(D = 10 \cdot 1\frac{N}{m}\) oder \(D = 10\frac{N}{m}\) geschrieben werden. Will man nur die Einheit einer Größe angeben, so schreibt man \([D] = 1\frac{N}{m} = \frac{N}{m}\). Die Einheiten sind meist im sogenannten SI-System angegeben. Man sagt hierzu auch MKSA-System (Meter, Kilogramm, Sekunde, Ampere System). Daneben sind aber auch noch andere Einheiten üblich, wie z.B. die Federhärtenangabe in \(\frac{N}{cm}\).

Musterbeispiel: Wie viel \(\frac{mN}{cm}\) sind \(10\frac{N}{m}\)? Kurz: \(10\frac{N}{m}= ?\frac{mN}{cm}\)

1. Schritt:

Drücke die gegebene Größe \(10\frac{N}{m}\) in der gesuchten Einheit \(\frac{{mN}}{{cm}}\) aus: \(10\frac{N}{m} = 10 \cdot \frac{{1000mN}}{{100cm}} = 10 \cdot \frac{{10mN}}{{cm}}\)

2. Schritt:

Vereinfache: \(10 \cdot \frac{{10mN}}{{cm}} = 1,0 \cdot {10^2}\frac{{mN}}{{cm}}\)

Ergebnis:

\(10\frac{N}{m} = 1,0 \cdot {10^{2}}\frac{{mN}}{{cm}}\)

Hinweis: Die Zahl der gültigen Stellen muss bei der Umwandlung erhalten bleiben (vgl. Grundwissen: Genauigkeit bei Zahlenangaben)

a) \(36\frac{{mN}}{{mm}}= ?\frac{N}{m}\) b) \(72\frac{N}{dm}= ?\frac{kN}{m}\) c) \(45\frac{cN}{mm}= ?\frac{N}{cm}\)

Bei Aufgaben zum Gesetz von Hooke reicht es nicht aus, nur die Definitionsgleichung der Federhärte \(D\) zu kennen:

\[{D = \frac{{\Delta F}}{{\Delta x}}}\]

Man muss vielmehr diese Definitionsgleichung auch nach den Größen \(\Delta F\) oder \(\Delta x\) auflösen können, um anderen Aufgabenstellungen gerecht zu werden. Hierzu benötigst du nur ein wenig Algebra.

  • Auflösen nach \(\Delta F\):


 

 

  • Auflösen nach \(\Delta x\):



 

 

Hinweis:
Ein häufiger Fehler beim Auflösen nach \(\Delta x\) schaut wie folgt aus:

\[\left. {D = \frac{{\Delta F}}{{\Delta x}}} \right|:\Delta F \Leftrightarrow \underbrace {\frac{D}{{\Delta F}} = \Delta x \Leftrightarrow \Delta x = \frac{D}{{\Delta F}}}_{falsch}\]

Die richtige, aber kompliziertere Umformung (da nur nach \(\frac{1}{{\Delta x}}\) aufgelöst wird und man dann auch noch den Kehrwert bilden müsste, um auf \(\Delta x\) zu gelangen) würde lauten:

\[\left. {D = \frac{{\Delta F}}{{\Delta x}}} \right|:\Delta F \Leftrightarrow \frac{D}{{\Delta F}} = \frac{1}{{\Delta x}} \Leftrightarrow \frac{1}{{\Delta x}} = \frac{D}{{\Delta F}}\]

 

Es ist sehr zu empfehlen, sich die oben dargestellten Vorgehensweisen einzuprägen. Eine (nicht gymnasiale) Eselsbrücke stellen wir dir auch noch vor:

  • Man ordnet die drei Größen \(\Delta F\), \(\Delta x\) und \(D\) auf die nebenstehend dargestellte Weise in einem Dreieck an.
  • Will man nach einer bestimmten Größe auflösen, so denkt man sich diese aus dem Dreieck weg.
    Die Position der verbleibenden Größen zeigt, wie der Term auf der rechten Gleichungsseite aussehen muss:
    Stehen die beiden Größen übereinander, so muss man die obere durch die untere Größe dividieren.
    Stehen die beiden Größen nebeneinander so muss man sie multiplizieren.

Hinweis:
Wir haben das Gesetz von Hooke bewusst mit \(\Delta F\) und \(\Delta x\) geschrieben, um klar zu machen, dass es auf die Änderungen ankommt. Unter gewissen Voraussetzungen kann die Formel auch einfacher angeschrieben werden:

Hatte zu Beginn eines betrachteten Vorgangs die Anfangskraft \({F_a}\) den Wert Null, so gilt natürlich:

\(\Delta F = {F_e} - {F_a} \Rightarrow \Delta F = {F_e} - 0 = {F_e}\), verkürzt \(\Delta F = F\)

War ebenso zu Beginn des betrachteten Vorgangs die Anfangsverlängerung \({x_a}\) den Wert Null, so gilt analog:

\(\Delta x = {x_e} - {x_a} \Rightarrow \Delta x = {x_e} - 0 = {x_e}\), verkürzt \(\Delta x = x\)

Dann gilt für das Gesetz von Hooke: \[D = \frac{F}{x}\]

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