Hinweis: Die Idee zu dieser Aufgabe stammt aus NiU Physik 5/04 - Heft 83 von Prof. Berge
Auf einer zweispurigen Landstraße fährt ein \(19\rm{m}\) langer Lastzug mit der Geschwindigkeit \({v_1} = 72\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\). Ein \(5,0\rm{m}\) langer PKW (A) mit der Geschwindigkeit \({v_2} = 100\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) nähert sich von hinten und setzt \(21\rm{m}\) hinter dem LKW zum Überholen an, obwohl gerade ein entgegenkommender PKW (B) aus der nächsten Kurve in Sicht kommt. Dieser Wagen ist zwar zu dem Zeitpunkt, an dem A ausschert, noch \(450\rm{m}\) entfernt, aber B fährt mit \({v_3} = 108\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\). Damit der LKW nicht in Schwierigkeiten kommt, sollte der überholende PKW erst dann wieder auf die rechte Straßenseite fahren, wenn sein Heck mindestens \(15\rm{m}\) vor dem LKW ist.
Abb. 1
Überholvorgang, bei dem ein Zusammenstoß mit einem entgegenkommenden Fahrzeug droht
Untersuche, ob das Überholen gut geht oder ob am Ende heftige Bremsmanöver nötig werden, die vielleicht zum Unfall führen. Versuche eine rechnerische und eine grafische Lösung.
Die Zeitzählung beginnt, wenn der PKW A zum Überholen ansetzt, d.h. wenn die Schnauze des PKW A von der Schnauze des LKW den Abstand \(40\rm{m}\) hat.
Da es sich um gleichförmige Bewegungen handelt, ergeben sich im \(t\)-\(s\)-Diagramm Geraden. Die Steigung des Zeit-Orts-Graphen von PKW B ist negativ, da er sich entgegen der positiven \(s\)-Achse bewegt.
Der Überholvorgang ist beendet, wenn der Abstand zwischen den Schnauzen von LKW und PKW A etwa \(20\rm{m}\) beträgt. Dies ist ca. bei der Zeit \(7,7\rm{s}\) der Fall.
Zu diesem Zeitpunkt haben sich PKW A und PKW B noch nicht getroffen. Erst wenn sich die blaue Gerade und die rote Gerade schneiden sind die beiden Autos auf gleicher Höhe. Allerdings befinden sie sich dann schon auf verschiedenen Fahrbahnen, d.h. es kommt zu keiner Kollision.
Rechnerische Lösung
Gegeben sind \({v_1} = 72\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\), \({v_2} = 100\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) und \({v_3} = 108\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}} = 30\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\).
Es ist vorteilhaft für die Lösung der Aufgabe ein Bezugssystem zu wählen, in dem der LKW ruht. In diesem System ist die LKW-Geschwindigkeit Null und der PKW A bewegt sich relativ zum LKW mit der Geschwindigkeit
\[{v_{{\rm{rel}}}} = {v_2} - {v_1} = 100\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}} - 72\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}} = 28\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}} = \frac{{28}}{{3,6}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 7,8\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
Abb. 3
Unterteilung des Überholvorgangs in verschiedene Abschnitte
Berechnung der Überholstrecke \({s_{\rm{Ü}}}\):
Zunächst muss A in dem gewählten Bezugssystem die Strecke \(21\rm{m}\) bis zum LKW, dann die Länge des LKW von \(19\rm{m}\) und schließlich die Strecke von \(15\rm{m}+5\rm{m}=20\rm{m}\) zurücklegen, damit das Heck des PKW \(15\rm{m}\) von der Schnauze des LKW entfernt ist. Für die Überholstrecke gilt also
\[{s_{\rm{Ü}}} = 21{\rm{m}} + 19{\rm{m}} + 15{\rm{m}} + 5{\rm{m}} = 60{\rm{m}}\]
Berechnung der Überholzeit \({t_{\rm{Ü}}}\):
Mit der Relativgeschwindigkeit von \({v_{{\rm{rel}}}} = 7,8\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) muss die Überholstrecke von \(60\rm{m}\) zurückgelegt werden. Da es sich um eine gleichförmige Bewegung handelt, gilt
\[{s_{\rm{Ü }}} = {v_{{\rm{rel}}}} \cdot {t_{\rm{Ü}}} \Leftrightarrow {t_{\rm{Ü}}} = \frac{{{s_{\rm{Ü}}}}}{{{v_{{\rm{rel}}}}}} \Rightarrow {t_{\rm{Ü}}} = \frac{{60{\rm{m}}}}{{7,8\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = 7,7{\rm{s}}\]
Droht Gefahr?
Wir wechseln nun wieder in ein Bezugssystem, das fest mit dem Straßenrand verbunden ist. Das Auto A legt in diesem System während der Überholzeit die Strecke \({s_2}\) zurück:
\[{s_2} = {v_2} \cdot {t_{\rm{Ü}}} \Rightarrow {s_2} = 28\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 7,7{\rm{s}} = 216{\rm{m}}\]
Der PKW B legt in diesem Bezugssystem während der Überholzeit die Strecke \({s_3}\)zurück:
\[{s_3} = {v_3} \cdot {t_{\rm{Ü}}} \Rightarrow {s_3} = 30\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 7,7{\rm{s}} = 231{\rm{m}}\]
Beide Strecken zusammen betragen \(447\rm{m}\). Da die Entfernung des PKW B vom PKW A zu Beginn des Überholvorgangs \(450\rm{m}\) betrug, geht das Überholmanöver gerade noch gut.
