Hinweis: Diese offene Aufgabe wurde nach einem Vorschlag des ISB erstellt.
Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Skizze zur Aufgabe
Während ein Krankenwagen (kw) vom Ort A aus mit einem Verletzten, aber ohne Arzt in Richtung des \(30{\rm{km}}\) entfernten Krankenhauses B startet, fährt gleichzeitig in B aufgrund der Schwere der Verletzungen ein Notarztwagen (na) los, dem Krankenwagen entgegen. Dessen mittlere Geschwindigkeit beträgt \(60\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\), die des PKW \(90\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\).
Bestimme, wie viele Minuten nach dem Losfahren der Verletzte ärztlich versorgt werden kann. Wenn es dir möglich ist, so gib verschiedene Lösungswege an.
Es ist günstig die Geschwindigkeiten in die Einheit \(\frac{{{\rm{km}}}}{{{\rm{min}}}}\) umzurechnen: \({v_{kw}} = 60\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}} = 1,0\frac{{{\rm{km}}}}{{{\rm{min}}}}\) ; \({v_{na}} = 90\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}} = 1,5\frac{{{\rm{km}}}}{{{\rm{min}}}}\).
Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Diagramm zur Lösung
Der Zeit-Orts-Graph des Krankenwagens ist eine Ursprungsgerade mit dem Start bei \(\left( {0{\rm{min}}|0{\rm{km}}} \right)\). Einen zweiten Geradenpunkt erhält man durch die Überlegung, dass der Krankenwagen in \({10{\rm{min}}}\) \(10{\rm{km}}\) zurücklegt, so dass sich als zweiter Punkt\(\left( {10{\rm{min}}|10{\rm{km}}} \right)\) ergibt.
Der Zeit-Orts-Graph des Notarztwagens ist keine Ursprungsgerade, der Start ist bei \(\left( {0{\rm{min}}|30{\rm{km}}} \right)\). Die Gerade muss abfallen (negative Geschwindigkeit, da entgegengesetzte Richtung). Einen zweiten Geradenpunkt erhält man durch die Überlegung, dass der Notarztwagen in \({10{\rm{min}}}\) \({15{\rm{km}}}\) zurücklegt, so dass sich als zweiter Punkt \(\left( {10{\rm{min}}|15{\rm{km}}} \right)\) ergibt.
Die beiden Geraden schneiden sich im Punkt \(\left( {12{\rm{min}}|12{\rm{km}}} \right)\), dort ist also der Treffpunkt. Der Verletzte kann also nach \({12{\rm{min}}}\) ärztlich versorgt werden.
Hinweis: In der nebenstehenden Abbildung steht statt Krankenwagen "Rettungswagen".
2. Lösung mit Hilfe der Relativgeschwindigkeit
Die Relativgeschwindigkeit der beiden Wagen ist \({v_{rel}} = 1,0\frac{{{\rm{km}}}}{{{\rm{min}}}} + 1,5\frac{{{\rm{km}}}}{{{\rm{min}}}} = 2,5\frac{{{\rm{km}}}}{{{\rm{min}}}}\), ihre ursprüngliche Entfernung \(30{\rm{km}}\). Zum Zurücklegen der Strecke von \(30{\rm{km}}\) braucht man mit dieser Relativgeschwindigkeit \(12{\rm{min}}\):\[{v_{rel}} = \frac{{\Delta x}}{{\Delta t}} \Leftrightarrow \Delta t = \frac{{\Delta x}}{{{v_{rel}}}} \Rightarrow \Delta t = \frac{{30{\rm{km}}}}{{2,5\frac{{{\rm{km}}}}{{{\rm{min}}}}}} = 12\rm{min} \]
3. Lösung mit Hilfe von Verhältnissen
Die von den Fahrzeugen in einer bestimmten Zeit zurückgelegten Wege verhalten sich wie deren Geschwindigkeiten:\[\frac{{\Delta {x_{na}}}}{{\Delta {x_{kw}}}} = \frac{{\Delta {v_{na}}}}{{\Delta {v_{kw}}}} \Rightarrow \frac{{\Delta {x_{na}}}}{{\Delta {x_{kw}}}} = \frac{{1,5\frac{{{\rm{km}}}}{{{\rm{min}}}}}}{{1,0\frac{{{\rm{km}}}}{{{\rm{min}}}}}} = \frac{3}{2}\]Man muss also die Strecke in 5 Anteile (3 + 2 = 5) aufteilen. Dann entspricht einem Anteil die Strecke von \(30{\rm{km}}:5 = 6{\rm{km}}\). Der Krankenwagen legt zwei Anteile, also \(12{\rm{km}}\) bis zum Treffpunkt zurück. Da seine Geschwindigkeit \(1,0\frac{{{\rm{km}}}}{{{\rm{min}}}}\) beträgt, braucht er für diese Strecke \(12{\rm{min}}\).
4. Lösung mit Hilfe von Gleichungen
Man könnte für beide Fahrzeuge Bewegungsgleichungen aufstellen und auf diese Weise die Zeit des Treffens berechnen. Dieser Weg wird nicht näher dargestellt, da er eher ein Problem einer höheren Klassenstufe ist.
