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Aufgabe

Auf der Autobahn

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Hinweis: Diese Aufgabe entstammt dem 9. bundesweiten Wettbewerb Physik 2002 - Sekundarstufe I. Die neuen Aufgabenstellung zum bundesweiten Wettbewerb findet man unter http://www.mnu.de (dort kannst du den "Wettbewerb Physik" anklicken und die Aufgabenstellungen im Archiv als pdf-Datei herunterladen).

Vorbemerkung: Diese Aufgabe setzt eine Reihe von physikalischen und mathematischen Fertigkeiten voraus, die der "Normalschüler" in der 7. Klasse noch nicht beherrscht. Für besonders Fortgeschrittene stellt die Aufgabe einen Anreiz dar. Vielleicht wagst du dich auch einmal an aktuelle Aufgaben aus dem Bundeswettbewerb Physik für die Sekundarstufe I.

Vater, Max und Susi fahren auf einer Autobahn. Vater fährt schon stundenlang \(115\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\); er überholt Lastwagen nach Lastwagen. "Vati, wie schnell fahren eigentlich die Lastwagen?".

Vater antwortet: "Seht, die Lastwagen fahren auch mit nahezu konstanter Geschwindigkeit, denn wir haben keine gesehen, die sich überholt haben. Zählt doch, wie viele Lastwagen uns in einer halben Stunde entgegenkommen und wie viele wir überholen. Dann könnt ihr es euch überlegen." Max zählt \(302\) entgegenkommende und Susi \(59\) überholte Lastwagen. Wie schnell fahren also die Lastwagen? Susi sagt: "Ich kann sogar den durchschnittlichen Abstand bestimmen, in dem die Lastwagen fahren.". Kannst du das auch?

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Abb. 1 Überholvorgang eines sich gleichförmig bewegenden Autos auf der Autobahn aus Sicht eines ruhenden Beobachters

Zur besseren Veranschaulichung ist die Situation auf der Autobahn in der Animation in Abb. 1 dargestellt.

Für die Abschätzung der Geschwindigkeit der Lastwagen (LKW) werden folgende Vereinfachungen gemacht:

  • Alle LKW sind gleich lang.
  • Alle LKW haben den gleichen Abstand d (von Motorhaube zu Motorhaube)
  • Alle LKW fahren gleich schnell.

Es soll die Geschwindigkeit des Personenwagens (PKW) mit \(v = 115\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) bezeichnet werden, die eines LKW mit \(x\). Von einem LKW auf der unteren Fahrbahn aus betrachtet hat der PKW eine Relativgeschwindigkeit \(v - x\), von einem LKW auf der Gegenfahrbahn (oben) aus betrachtet hat der PKW die Relativgeschwindigkeit \(v + x\).

Die Zahl der entgegenkommenden LKWs verhält sich zur Zahl der überholten LKWs wie diese beiden Relativgeschwindigkeiten:\[\begin{eqnarray}\frac{{v + x}}{{v - x}} &=& \frac{{302}}{{59}}\\ \Leftrightarrow (v + x) \cdot 59 &=& (v - x) \cdot 302\\ \Leftrightarrow 59 \cdot v + 59 \cdot x &=& 302 \cdot v - 302 \cdot x\\ \Leftrightarrow 302 \cdot x + 59x &=& 302 \cdot v - 59 \cdot v\\ \Leftrightarrow 361 \cdot x &=& 243 \cdot v\\ \Leftrightarrow x &=& \frac{{243}}{{361}} \cdot v\end{eqnarray}\]Einsetzen der gegebenen Geschwindigkeit \(v = 115\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) liefert\[{x = \frac{{243}}{{361}} \cdot 115\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}} \approx {\rm{77}}\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}}\]

Abb. 2 Überholvorgang eines sich gleichförmig bewegenden Autos auf der Autobahn aus Sicht der überholten LKWs

Zur Berechnung des durchschnittlichen Abstands \(d\) der LKW betrachtet man den Vorgang wieder von einem überholten LKW aus:

Wenn der Abstand zwischen den LKW \(d\) beträgt und der PKW in einer halben Stunde neunundfünfzig LKW überholt, so hat er die Strecke \(59 \cdot d\) zurückgelegt. Dabei fährt der PKW mit der Relativgeschwindigkeit \({115\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}} - {\rm{77}}\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}} = 38\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}}\). Dann gilt:\[(v - x) \cdot t = 59 \cdot d \Leftrightarrow (115\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}} - 77\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}) \cdot 0,5{\rm{h}} = 59 \cdot d \Leftrightarrow 19{\rm{km}} = 59 \cdot d \Leftrightarrow d = \frac{{19}}{{59}}{\rm{km}} \approx 0,32{\rm{km}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Gleichförmige Bewegung