Du toastest dir zum Frühstück eine Scheibe Toast mit der Masse \(m=40\,\rm{g}\). Als der Toast fertig ist und nach oben springt, stellst du fest, dass er von seiner Haltevorrichtung dabei genau \(h=4{,}0\,\rm{cm}\) nach oben springt, bevor er wieder nach untern fällt und auf der Haltevorrichtung zur Ruhe kommt.
a)
Berechne, wie lange der Toast insgesamt in der Luft ist, bevor er wieder auf der Haltevorrichtung landet.
b)
Berechne, auf welche Geschwindigkeit \(v\) der Toaster die Toastscheibe beschleunigt hat.
c)
Untersuche, wie schnell eine \(11\,\rm{cm}\) hohe Scheibe Sandwich-Toast beschleunigt werden müsste, damit sie einen Toaster, der zwischen oberstem Punkt der Haltevorrichtung und oberem Rand des Toasters \(l=6{,}0\,\rm{cm}\) hoch ist, vollständig verlässt.
d)
Berechne, wie groß die in der Feder der Haltevorrichtung gespeicherte potentielle Energie sein muss, damit der Toast beim Auswerfen auf \(v_{y_0}=1{,}0\,\rm{\frac{m}{s}}\) beschleunigt wird. Das Gewicht der Haltevorrichtung kann hierbei vernachlässigt werden.
Der Toast benötigt für den freien Fall vom obersten Punkt nach unten auf die Haltevorrichtung des Toasters die gleiche Zeitspanne wie für den Weg nach oben. Daher gilt \(t_{\rm {Flug}} = 2\cdot t_{\rm {Fall}}\).
Mithilfe des Zeit-Ort-Gesetz für den freien Fall \(y(t) = \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2}\) kann die Fallzeit \(t_{\rm {Fall}}\) des Toast berechnet werden:\[t_{\rm {Fall}}=\sqrt{\frac{2\cdot y(t)}{g}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[t_{\rm {Fall}}=\sqrt{\frac{2\cdot 0{,}040\,\rm{m}}{9{,}81\,\rm{\frac{m}{s^2}}}}= 0{,}090\,\rm{s}\]Somit ist \(t_{\rm {Flug}}= 0{,}18\,\rm{s}\). Der Toast ist also etwa \( 0{,}18\,\rm{s}\) in der Luft.
b)
Mithilfe der Formel zur Steig- bzw. Fallzeit ergibt sich die Geschwindigkeit \(v_{y_0}\) des Toast beim Verlassen der Haltevorrichtung aus\[t_{\rm{S}} = \frac{v_{y_0}}{g} \Leftrightarrow v_{y_0}=t_{\rm{S}}\cdot g\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[v_{y_0}=0{,}090\,\rm{s}\cdot 9{,}81\,\rm{\frac{m}{s^2}} = 0{,}88\,\rm{\frac{m}{s}} = 3{,}2\,\rm{\frac{km}{h}} \]
c)
Der Toast muss eine Steighöhe von \(y_{\rm S}=6{,}0\,\rm{cm}\) erreichen. Mithilfe der Formel für die Steighöhe folgt daher\[{y_{\rm{S}}} = \frac{{v_{y_0}^2}}{{2 \cdot g}} \Rightarrow v_{y_0}=\sqrt{2\cdot g\cdot y_{\rm{S}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[v_{y_0}=\sqrt{2\cdot 9{,}81\,\rm{\frac{m}{s^2}}\cdot 0{,}060\,\rm{m}} = 1{,}1\,\rm{\frac{m}{s}}\]Der Toast müsste also auf \(v_{y_0}=1{,}1\,\rm{\frac{m}{s}}\) beschleunigt werden.
d)
Beim Auswerfen des Toast wird die in der Feder gespeicherte potentielle Energie vollständig in kinetische Energie des Toast umgesetzt. Es gilt also \(E_{\rm{pot}}=E_{\rm{kin}}\). Die kinetische Energie des Toast ergibt sich aus \[E_{\rm{kin}}=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[E_{\rm{kin}}=\frac{1}{2}\cdot 0{,}040\,\rm{kg}\cdot \left( {1{,}0\,\rm{\frac{m}{s}}}\right)^2 = 0{,}020\,\rm{J}\]Die in der Feder gespeicherte potentielle Energie \(E_{\rm{pot}}\) muss also \(0{,}020\,\rm{J}\) betragen.
