Hinweis: Es wird ein Koordinatensystem mit nach oben orientierter Ortsachse gewählt. Alternativ ist auch eine andere Wahl möglich, was insbesondere das Vorzeichen der Beschleunigung ändert.
a)
Seine maximale Höhe erreicht der Körper nach \(2{,}0\,\rm{s}\), da er gleich lang steigt und fällt. Die Höhe, die er dabei erreicht, entspricht der Strecke, die der Ball in den folgenden \(2{,}0\,\rm{s}\) frei fällt. Für diese Strecke gilt\[s = -\frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[s= -\frac{1}{2} \cdot 9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2} \cdot \left( 2{,}0\,\rm{s} \right)^2 = -20\,\rm{m}\]Somit erreicht der Ball zuvor eine Höhe von \( h_{\rm{max}}=20\,\rm{m}\).
b)
Aus der Formel für die Steigzeit folgt\[ t_{\rm{S}} = \frac{v_0}{g} \Leftrightarrow v_0 = t_{\rm{S}} \cdot g\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[v_0= 2{,}0\,\rm{s} \cdot 9{,}81\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2} = 20\,\rm{\frac{m}{s}}\]
c)
Die Geschwindigkeit, mit der er auf dem Boden ankommt, ist bis auf das Vorzeichen die Gleiche wie die Geschwindigkeit beim Schuss nach oben, also \(-20\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\).
d)
Die Zeiten, zu denen der Abstand vom Boden \(3{,}0\,\rm{m}\) beträgt, ergeben sich aus den Zeit-Ort-Gesetz\[ y(t) = 3{,}0\,{\rm{m}} \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 + v_0 \cdot t = 3{,}0\,\rm{m}\]Die Gleichung wird umgestellt und mithilfe der \(p\)-\(q\)-Formel nach \(t\) aufgelöst:\[0 = t^2 - \frac{{2 \cdot {v_0}}}{g} \cdot t + \frac{2 \cdot 3{,}0\,{\rm{m}}}{g} \Rightarrow{t_{{\rm{1,2}}}} = \frac{{{v_0}}}{g} \pm \sqrt {{{\left( {\frac{{{v_0}}}{g}} \right)}^2} - \frac{2 \cdot 3{,}0\,\rm{m}}{g}\;} ;\;L = \left\{ {0{,}16\,{\rm{s}};3{,}84\,{\rm{s}}} \right\}\]
