Zur Altersbestimmung organischer Materialien eignet sich häufig die Radiokarbonmethode (\(^{14}\rm{C}\) - Methode). Das hierzu genutzte Kohlenstoff-Isotop \(^{14}\rm{C}\) entsteht in der Atmosphäre aus dem Stickstoff-Isotop \(^{14}\rm{N}\) durch Wechselwirkung mit einem Neutron. Da sich \(^{12}\rm{C}\) und \(^{14}\rm{C}\) chemisch annähernd gleich verhalten, nehmen Lebewesen auch \(^{14}\rm{C}\) auf. Für das Verhältnis der Teilchenzahlen \(\frac{N_0(^{14}\rm{C})}{N_0(^{12}\rm{C})}\) in der Atmosphäre und in lebender Materie kann der konstante Wert \( \frac{N_0(^{14}\rm{C})}{N_0(^{12}\rm{C})} = 1{,}176\cdot 10^{-12}\) angenommen werden. Der Anteil des radioaktiven \(^{14}\rm{C}\) (Halbwertszeit \(T_{1/2} = 5730\,\rm{a}\) ) verringert sich nach dem Absterben. Aus dem gemessenen Verhältnis der Teilchenzahlen von \(^{14}\rm{C}\) zu \(^{12}\rm{C}\) kann auf das Alter des untersuchten Stoffs geschlossen werden.
a)
Stelle die Reaktionsgleichung für die Entstehung von \(^{14}\rm{C}\) auf. (2 BE)
\(^{14}\rm{C}\) ist radioaktiv und zerfällt durch \(\beta^{-}\)-Zerfall.
b)
Stelle die zugehörige Zerfallsgleichung für diesen Zerfall auf und berechne die freiwerdende Energie \(Q\). (5 BE)
c)
Skizziere die Verteilung der kinetischen Energie der \(\beta^{-}\)-Teilchen bei diesem Zerfall. Erläutere, warum die \(\beta^{-}\)-Teilchen hier eine geringere Energie als die in Teilaufgabe b) besitzen. (4 BE)
Im Turiner Dom wird ein Leinentuch aufbewahrt, das ein Abbild eines Menschen zeigt und als das Grabtuch von Jesus Christus verehrt wird. Im Laufe der Jahrhunderte überstand es einige Brände und wurde mehrmals ausgebessert. Das Alter des Tuchs wurde 1988 mit der \(^{14}\rm{C}\)-Methode datiert. Dazu wurde an einer Ecke eine sehr kleine Stoffprobe der Masse \(52{,}8\,\rm{mg}\) herausgeschnitten.
d)
Im Vorfeld der Untersuchung gab es zwei konkurrierende Zielsetzungen: Eine möglichst genaue Datierung oder ein möglichst vollständiger Erhalt des Tuchs.
Bewerte aus Sicht der beiden Zielsetzungen den gewählten Entnahmeort und die Größe der Stoffprobe. Folgere daraus die bei der Untersuchung bevorzugte Zielsetzung. (5 BE)
e)
Schätze mit einer Rechnung ab, ob man die Aktivität der Stoffprobe mit einem Nachweisgerät messen könnte, das eine Nullrate von \(12\,\rm{min}^{-1}\) detektiert.
Gehe davon aus, dass die Stoffprobe komplett aus \(^{12}\rm{C}\) und \(^{14}\rm{C}\) besteht. (7 BE)
f)
Das Verhältnis der Teilchenanzahlen \(\frac{N(^{14}\rm{C})}{N(^{12}\rm{C})}\) in der Stoffprobe beträgt \(1{,}078\cdot 10^{-12}\).
Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)
Die Reaktionsgleichung für die Entstehung von \(^{14}\rm{C}\) durch Aufnahme eines Neutrons lautet \[^{1}_{0}\rm{n} + ^{14}_{7}\rm{N} \rightarrow ^{14}_{6}\rm{C} + ^{1}_{1}\rm{H}\]
b)
Die Zerfallsgleichung von \(^{14}\rm{C}\) lautet \[^{14}_{6}\rm{C} \rightarrow ^{14}_{7}\rm{N} + ^{0}_{-1}e + ^{0}_{0}\overline{\nu}\]
Die freiwerdende Energie ergibt sich aus der Massendifferenz der an der Reaktion beteiligten Atommassen \(Q=\Delta m\cdot c^2\).
Hinweis: Da entsprechend der Angaben in der Formelsammlung mit Atommassen gearbeitet wird, muss das Elektron in der Rechnung nicht extra berücksichtigt werden.
Mit den Massen aus der Formelsammlung von \(m(^{14}_{6}\rm{C}) = 14{,}003242\,u\) und \(m(^{14}_{7}\rm{N}) = 14{,}003074\,\rm{u}\) folgt\[\begin{eqnarray}Q &=& \Delta m \cdot {c^2}\\ Q &=& \left[ {{m_{\rm{A}}}\left( {_6^{14}{\rm{C}}} \right) - {m_{\rm{A}}}\left( {_7^{14}{\rm{N}}} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {14{,}003242\, {\rm{u}} - 14{,}003074\, {\rm{u}}} \right] \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}000168 \cdot \rm{u} \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}000168 \cdot 931{,}49\, {\rm{MeV}}\\ &=& 0{,}156\, {\rm{MeV}}\\&=& 156\, {\rm{keV}}\end{eqnarray}\]
c)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Qualitatives Spektrum der Beta-Strahlung
Das Energiespektrum der \(\beta^-\)-Teilchen ist ein kontinuierliches Spektrum mit einer Maximalenergie, die bei weniger als \(E_{\rm{kin,max}}=156\,\rm{keV}\) liegt (vgl. Abb. 2). Die \(\beta^{-}\)-Teilchen haben eine geringere maximale Energie als in Teilaufgabe b), da das Atom einen kleinen Teil der Energie als Rückstoßenergie erhält und auch das Antineutrino einen Teil der Energie erhält.
d)
Aus Sicht der Zielsetzung einer genauen Datierung wäre eine möglichst große, repräsentative Stoffprobe wünschenswert, um den Datierungsfehler möglichst klein zu halten. Zumindest sollten mehrere Stoffproben von verschiedenen Stellen entnommen werden, auch um das Risiko zu reduzieren, eine ausgebesserte Stelle zu treffen.
Aus Sicht der Zielsetzung des möglichst vollständigen Erhalt des Tuches sollte hingegen eine möglichst kleine Stoffprobe entnommen werden. Diese sollte vom Rand des Tuches stammen, damit insbesondere das Abbild des Menschen nicht beschädigt wird.
Die Wahl einer sehr kleinen Stoffprobe von einer Ecke des Tuches bevorzugt als Zielsetzung daher den möglichst vollständigen Erhalt des Tuches.
e)
Die Stoffprobe hat die Masse \(m=52{,}8\,\rm{mg}\). Unter der für eine Abschätzung ausreichenden Annahme, dass die gesamte Stoffprobe aus \(^{12}\rm{C}\) besteht, ergibt sich die Anzahl der \(^{12}\rm{C}\)-Atome aus \[N_0\left(^{12}\rm{C}\right)=\frac{m}{m\left(^{12}\rm{C}\right)}\quad (1)\]Das Verhältnis von radioaktivem \(^{14}\rm{C}\) zu normalem \(^{12}\rm{C}\) ist \( \frac{N_0\left(^{14}\rm{C}\right)}{N_0\left(^{12}\rm{C}\right)} = 1{,}176\cdot 10^{-12}\). Damit ergibt sich die Zahl der C-14-Atome aus \[N_0\left(^{14}\rm{C}\right)=1{,}176\cdot 10^{-12}\cdot N_0\left(^{12}\rm{C}\right)\quad (2)\]Einsetzen von (1) in (2) liefert eine Abschätzung für die Anzahl der \(^{14}\rm{C}\)-Atome:\[N_0\left(^{14}\rm{C}\right)=1{,}176\cdot 10^{-12}\cdot \frac{m}{m\left(^{12}\rm{C}\right)}\quad (3)\]Die Aktivität der Probe ergibt sich aus \[A=\lambda\cdot N_0\left(^{14}\rm{C}\right)=\frac{\rm{ln}\left(2\right)}{T_{1/2}}\cdot N_0\left(^{14}\rm{C}\right)\quad (4)\]Einsetzen von (3) in (4), der gegebenen Werte und der Masse von \(^{14}\rm{C}\) aus der Formelsammlung liefert\[A=\frac{\ln\left(2\right)}{5730\cdot 365\cdot 24\cdot 60\,\rm{min}}\cdot 1{,}176\cdot 10^{-12}\cdot \frac{52{,}8\cdot 10^{-6}\,\rm{kg}}{12\cdot 1{,}66\cdot 10^{-27}\,\rm{kg}}=0{,}72\,\rm{min^{-1}}\]Da diese Aktivität viel kleiner ist als die von dem Gerät detektierte Nullrate von \(12\,\rm{min^{-1}}\) ist eine Aktivitätsmessung mit diesem Nachweisgerät nicht möglich.
f)
Nach dem Zerfallsgesetz gilt\[N\left(^{14}\rm{C}\right)=N_0\left(^{14}\rm{C}\right)\cdot e^{-\frac{\ln{(2)}}{T_{1/2}}\cdot t}\]Bezogen auf das Verhältnis von \(^{12}\rm{C}\) zu \(^{14}\rm{C}\) ergibt sich damit \[\frac{N\left(^{14}\rm{C}\right)}{N\left(^{12}\rm{C}\right)}=\frac{N_0\left(^{14}\rm{C}\right)}{N_0\left(^{12}\rm{C}\right)}\cdot e^{-\frac{\ln{(2)}}{T_{1/2}}\cdot t}\]Einsetzen der Verhältnisse führt zu\[1{,}078\cdot 10^{-12}=1{,}176\cdot 10^{-12}\cdot e^{-\frac{\ln{(2)}}{T_{1/2}}\cdot t}\]Teilen durch \(1{,}176\cdot 10^{-12}\), Kürzen und Anwenden des natürlichen Logarithmus liefert\[\ln\left(\frac{1{,}07876}{1{,}176}\right)=-\frac{\ln{(2)}}{T_{1/2}}\cdot t\]Auflösen nach \(t\) und einsetzen der Halbwertszeit ergibt das Alter der Probe\[\begin{eqnarray} -\frac{T_{1/2}}{\ln{(2)}}\cdot\ln\left(\frac{1{,}078}{1{,}176}\right) &=& t \\ -\frac{5730\,\rm{a}}{\ln{(2)}}\cdot\ln\left(\frac{1{,}078}{1{,}176}\right) &=& t \\ 719\,\rm{a} &=& t\end{eqnarray}\]Das Alter der Stoffprobe beträgt also etwa 719 Jahre.
