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Aufgabe

Altersbestimmung von Gesteinsproben (Abitur BY 2008 LK A4-2)

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Die Kalium-Argon-Methode ist geeignet, das Alter von Gesteinsproben zu ermitteln. Beim Zerfall von \({}^{40}{\rm{K}}\) mit der Halbwertszeit \(1{,}28 \cdot {10^9}\,{\rm{a}}\) führen \(10{,}7\% \) der Zerfälle zu stabilem \({}^{40}{\rm{Ar}}\), in den übrigen Fällen entsteht stabiles \({}^{40}{\rm{Ca}}\). Beim Erhitzen des Gesteins, z. B. infolge vulkanischer Tätigkeit, entweicht das enthaltene Argon. Mit dem Erstarren des Gesteins wird das ab diesem Zeitpunkt entstehende Argon eingeschlossen und die radiologische Uhr gestartet.

Bei einer Probe aus vulkanischem Gestein wird zunächst die Masse des enthaltenen \({}^{40}{\rm{K}}\) (Atommasse \({m_{\rm{A}}} = 39{,}963591u\)) zu \(2{,}18\,{\rm{mg}}\) gemessen. Anschließend extrahiert man das in der Probe enthaltene \({}^{40}{\rm{Ar}}\) durch starkes Erhitzen und bestimmt dessen Masse zu \(184\,{\rm{\mu g}}\).

a)Berechnen Sie, welches Alter sich für die Gesteinsprobe ergibt. (10 BE)

b)Geben Sie an, ob die Probe zu jung oder zu alt eingeschätzt würde, wenn das \({}^{40}{\rm{Ar}}\) durch die vulkanische Tätigkeit nicht vollständig entfernt worden wäre. Begründen Sie Ihre Antwort. (4 BE)

c)Die Erdatmosphäre enthält in bekanntem Verhältnis Argon in Form der Isotope \({}^{36}{\rm{Ar}}\), \({}^{38}{\rm{Ar}}\) und \({}^{40}{\rm{Ar}}\). Es besteht daher die Gefahr, dass die Altersbestimmung verfälscht wird, wenn das Gestein im Laufe der Zeit \({}^{40}{\rm{Ar}}\) aus der Luft aufgenommen hat.

Erklären Sie, wie sich dieses Problem durch eine massenspektroskopische Analyse des Argons aus der Probe umgehen lässt. Erläutern Sie, welche Annahme dabei zugrunde gelegt wird. (5 BE)

Hinweis: Die hier angegebene Atommasse wurde der AME2016 des AMDC-Atomic Mass Data Center entnommen.

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a)Bestimmung der Anzahl Argonatome:
\[{N_{{\rm{Ar}}}} = \frac{{{m_{{\rm{Ar}}}}}}{{{m_{\rm{A}}}({\rm{Ar}})}} = \frac{{184 \cdot {{10}^{ - 9}}{\rm{kg}}}}{{39{,}962591 \cdot 1{,}66 \cdot {{10}^{ - 27}}{\rm{kg}}}} \approx 2{,}77 \cdot {10^{18}}\] Anzahl der zerfallenen Atome: \[{N_{{\rm{Zerf}}}} = \frac{{{N_{{\rm{Ar}}}}}}{{0{,}107}} = \frac{{2{,}77 \cdot {{10}^{18}}}}{{0{,}107}} = 2{,}59 \cdot {10^{19}}\] Bestimmung der Anzahl unzerfallene Kaliumatome: \[N(t) = {N_{\rm{K}}} = \frac{{{m_{\rm{K}}}}}{{{m_{\rm{A}}}\left( {\rm{K}} \right)}} = \frac{{2{,}18 \cdot {{10}^{ - 6}}\,{\rm{kg}}}}{{39{,}962591 \cdot {{1{,}66}^{ - 27}}\,{\rm{kg}}}} \approx 3{,}29 \cdot {10^{19}}\] Anzahl der Mutteratome zum Zeitpunkt des Erstarrens: \[{N_0} = {N_{{\rm{Zerf}}}} + N\left( t \right) = 2{,}59 \cdot {10^{19}} + 3{,}29 \cdot {10^{19}} = 5{,}88 \cdot {10^{19}}\] Aus dem Zerfallsgesetz ergibt sich schließlich \[N(t) = {N_0} \cdot {e^{ - \frac{{\ln \left( 2 \right) \cdot t}}{{{T_{1/2}}}}}} \Leftrightarrow t =  - \frac{{{T_{1/2}}}}{{\ln \left( 2 \right)}} \cdot \ln \left( {\frac{{N(t)}}{{{N_0}}}} \right)\] \[\Rightarrow t =- \frac{{1{,}28 \cdot {{10}^9}\,{\rm{a}}}}{{\ln \left( 2 \right)}} \cdot \ln \left( {\frac{{3{,}29 \cdot {{10}^{19}}}}{{5{,}88 \cdot {{10}^{19}}}}} \right) = 1{,}07 \cdot {10^9}\,{\rm{a}}\]

b)Wenn in der Probe noch \({}^{40}{\rm{Ar}}\) enthalten wäre, dass bereits vor dem Erstarren des Gesteins entstanden wäre, so wäre NZerf größer als es eigentlich sein sollte. Damit ist bei gleichem N(t) das angenommene N0 größer und man ginge davon aus, dass das Gestein früher erstarrt wäre.

c)Nimmt man an, dass sich das Isotopenverhältnis von \({}^{36}{\rm{Ar}}\), \({}^{38}{\rm{Ar}}\) und \({}^{40}{\rm{Ar}}\) im Laufe der Zeit nicht ändert, so bestimmt man aus den Massen von \({}^{36}{\rm{Ar}}\) und \({}^{38}{\rm{Ar}}\) die zu erwartende Masse an \({}^{40}{\rm{Ar}}\). Was über diese \({}^{40}{\rm{Ar}}\) - Masse hinausgeht muss aus dem Zerfall von \({}^{40}{\rm{K}}\) entstanden sein und darf bei der Altersbestimmung berücksichtigt werden.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Kern-/Teilchenphysik

Anwendungen der Kernphysik