Allgemeines Gasgesetz

zum Video (von T. Hemmert, Uni Würzburg)

Durch die zugeführte Wärme dehnt sich die Luft im Kolben aus und tritt als Luftbläschen (siehe Foto links) aus dem Ableitrohr im Wasserglas aus.

Nach dem die Wärmezufuhr aufhört, kühlt sich die Luft im Glaskolben wieder langsam auf das Ursprungsniveau ab und saugt Wasser aus dem Becherglas durch das Rohr in den Glaskolben. Die Pfeilspitze zeigt auf die Wasseroberfläche am Ende des Films.

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Durch die zugeführte Wärme dehnt sich die Luft im Kolben aus und drückt den Wasserfaden im U-Rohr nach außen. Das Erwärmen der Luft im Kolben um wenige Grad geht mit der recht heißen Flamme verhältnismäßig schnell, da die Temperaturdifferenz zwischen Flamme (150°C) und Luft (ca. 20°C) groß ist, wohingegen die Abkühlung auf die vorherige Zimmertemperatur nur langsam(5,5 Stunden) vonstatten geht, da die Temperaturdifferenz zwischen Außenluft und Innenluft sehr gering ist (siehe Aufgabe 1) und durch das Abkühlen der Innenluft immer kleiner wird. Der Wärmetransport geht bei großem Temperaturunterschied schneller als bei geringem Temperaturunterschied.

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Das Zusatzvolumen ΔV hat die Form eines Zylinders mit dem Durchmesser d und der Höhe 0,5·Δh, also:
\[ \Delta V = \left( 0,5 \cdot d \right)^2 \cdot \pi \cdot 0,5 \cdot \Delta h  \Rightarrow  \Delta V = 0,325 \mathrm{cm^2} \cdot \pi \cdot 4 \mathrm{cm} = 1,33 \mathrm{cm^3} \]
Im Weiteren gibt es 2 Lösungswege:

1. Weg mittels Volumenausdehnungskoeffizient: (nur in engem Temperaturbereich richtig, siehe unten)

Es gilt, wie man sich auch aus der Einheit des Volumenausdehnungskoeffizienten herleiten kann:
\[ \Delta V = \gamma_\text{Luft} \cdot V \cdot \Delta \vartheta \Rightarrow  \Delta \vartheta = \frac{\Delta V}{\gamma_\text{Luft} \cdot V}  \Rightarrow \Delta \vartheta = \frac{1,33\mathrm{cm^3}}{3,41\mathrm{\frac{cm^3}{dm^3 \cdot {^\circ}C}} \cdot 1,0\mathrm{dm^3}} = 0,4\mathrm{{^\circ}C} \]

2. Weg mit Hilfe des Gesetzes von Gay - Lussac:

\[ \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \quad \Rightarrow \quad \frac{V}{T} = \frac{V + \Delta V}{T + \Delta T} \quad \Rightarrow \quad \frac{T + \Delta T}{T} = \frac{V + \Delta V}{V} \quad \Rightarrow \\ \, \\ 1 + \frac{\Delta T}{T} = 1 + \frac{\Delta V}{V} \quad \Rightarrow \quad \frac{\Delta T}{T} = \frac{\Delta V}{V} \quad \Rightarrow \quad \Delta T = \frac{\Delta V}{V} \cdot T \quad \Rightarrow \\ \, \\ \Delta T = \frac{1,33\, \mathrm{cm^3}}{1000\, \mathrm{cm^3}} \cdot 293\, \mathrm{K} = 0,4\, \mathrm{K} \]
Der Vergleich der Lösungen zeigt, dass der Volumenausdehnungskoeffizient der Kehrwert der absoluten Temperatur ist.

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Durch die zugeführte Wärme dehnt sich die Luft im Kolben aus und drückt den Wasserfaden im U-Rohr nach außen. Das Erwärmen der Luft im Kolben um wenige Grad geht mit der recht heißen Flamme verhälnismäßig schnell, da die Temperaturdifferenz zwischen Hand (ca 30°C) und Luft (ca. 20°C) groß ist, wohingegen die Abkühlung auf die vorherige Zimmertemperatur nur langsam(5,5 Stunden) vonstatten geht, da die Temperaturdifferenz zwischen Außenluft und Innenluft sehr gering ist (siehe Aufgabe 1) und durch das Abkühlen der Innenluft immer kleiner wird. Der Wärmetransport geht bei großem Temperaturunterschied schneller als bei geringem Temperaturunterschied.

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Aus dem Gesetz von Gay-Lussac folgt
\[\frac{{{V_1}}}{{{T_1}}} = \frac{{{V_2}}}{{{T_2}}} \Leftrightarrow {V_2} = \frac{{{V_1} \cdot {T_2}}}{{{T_1}}} \Rightarrow {V_2} = \frac{{1000{\rm{c}}{{\rm{m}}^3} \cdot 301{\rm{K}}}}{{293{\rm{K}}}} = 1027{\rm{c}}{{\rm{m}}^3} \Rightarrow \Delta V = 27{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\]
Man kann ΔV auch mit dem (in engen Grenzen gültigen) Volumenausdehnungskoeffizienten herleiten:
ΔV = g_Luft · V · Δϑ => ΔV = 3,41 (cm³/dm³·°C) · 1dm³ · 8°C => ΔV = 27 cm³
Das Zusatzvolumen ΔV hat die Form eines Zylinders mit dem Durchmesser d und der Höhe h, also:
\[\Delta V = {\left( {0,5 \cdot d} \right)^2}\cdot{\rm{ }}\pi {\rm{ }}\cdot{\rm{ }}h \Leftrightarrow h = \frac{{\Delta V}}{{{{\left( {\frac{d}{2}} \right)}^2}\cdot{\rm{ }}\pi }} \Rightarrow h = \frac{{27{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}}}{{{{\left( {\frac{{0,65{\rm{cm}}}}{2}} \right)}^2}\cdot{\rm{ }}\pi }} = 81{\rm{cm}}\]