"Damit ein Körper im Wasser schwimmt, muss dieser leichter als Wasser sein."
Bei dieser Feststellung musst du als physikalisch vorgebildeter Mensch sofort protestieren und richtig stellen:
"Damit ein Körper im Wasser schwimmt, muss dessen Dichte kleiner sein als die Dichte von Wasser."
Die bei Flüssigkeiten gemachte Beobachtung lässt sich nun auf das "Luftmeer" in dem wir leben übertragen: "Damit ein Körper in der Luft aufsteigen kann, muss seine Dichte kleiner sein als die Luftdichte." Umgangssprachlich (physikalisch nicht korrekt) hört man oft: "Der Körper muss leichter als Luft sein."
Für ein genaueres Verständnis der Ballon-Physik muss man zwei physikalische Gesetzmäßigkeiten heranziehen: Das Gesetz über den Auftrieb von ARCHIMEDES und das allgemeine Gasgesetz.
Das Gesetz des ARCHIMEDES - oder - Warum muss ein Ballon so groß sein?
Joachim Herz Stiftung
Wir wollen uns zunächst nochmal das Gesetz von ARCHIMEDES in Erinnerung rufen: Die Auftriebskraft \(\vec F_{\rm{A}}\) eines Ballons ist gleich dem Gewicht der verdrängten (äußeren) Luft. Für den Betrag der Auftriebskraft gilt deshalb\[{F_{\rm{A}}} = {F_{{\rm{G,verdrängte\;Luft}}}} = {m_{{\rm{verdrängte\;Luft}}}} \cdot g\]
Hat der Ballon das Volumen \(V\) und die verdrängte (äußere) Luft die Dichte \({\rho _{\rm{a}}}\) so gilt auch\[{F_{\rm{A}}} = {\rho _{\rm{a}}} \cdot V \cdot g\]
Die Dichte der Luft bei Normalbedingungen (\(\vartheta = 0^\circ C\) und \(p = 1013\,{\rm{hPa}}\)) ist \(\rho_0 = 1{,}3\,\frac{\rm{kg}}{\rm{m}^3}\). Wird also z.B. \(1\,\rm{m}^3\) Luft bei Normalbedingungen verdrängt, so entsteht eine Auftriebskraft von\[{F_{\rm{A}}} = 1{,}3\,\frac{\rm{kg}}{\rm{m}^3} \cdot 1\,\rm{m}^3 \cdot 10\,\frac{\rm{N}}{\rm{kg}} = 13\,\rm{N}\]
Aufgabe
Aufgabe
Berechne das Volumen, das ein Körper der Masse \(1\rm{kg}\) haben müsste, damit er die gleiche Dichte hat wie Luft, also in Luft schweben würde.
Warum braucht ein Ballon eine Gasfüllung?
Aus dem Ergebnis der Aufgabe wird klar, dass für das Ballonfahren nur sehr voluminöse Körper in Frage kommen. Schon sehr früh (1670) hatte man die Idee mit einer großen evakuierten Kugel in die Lüfte zu steigen, jedoch würde eine solche Kugel dem äußeren Luftdruck nur standhalten, wenn ihre Hülle aus sehr steifem (und damit sehr schwerem) Material wäre.
Einen Ausweg aus dem Dilemma bietet die Gasfüllung des Ballons. So ist es möglich eine schlaffe (und damit sehr leichte) Hülle zu verwenden. Die Gasfüllung hat also die Aufgabe den nötigen Innendruck zu erzeugen, damit der Ballon nicht zusammenfällt. Außerdem muss die Füllung leichter sein als die verdrängte Luft.
Bedingung für das Abheben des Ballons
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Damit der Ballon abhebt, muss die Auftriebskraft größer als die Gewichtskraft sein. Bei der festgelegten Zählrichtung muss also die resultierende Kraft \(F_{\rm{res}}\) größer Null sein
\[F_{\rm{res}} = {F_{\rm{A}}} - {F_{\rm{G}}} > 0\]
Die Gewichtskraft des Ballons setzt sich aus mehreren Anteilen zusammen:
- die Gewichtskraft der Ballonhülle
- die Gewichtskraft von Korb und Zuladung (Besatzung usw.)
- die Gewichtskraft der Gasfüllung (\(\rho = {\rho _i}\)) im Ballon
Geht man für eine erste Berechnung davon aus, dass das Gewicht von Hülle, Korb und Zuladung zu vernachlässigen ist, so gilt
\[{F_{{\rm{res}}}} = {\rho _a} \cdot V \cdot g - {\rho _i} \cdot V \cdot g = \left( {{\rho _a} - {\rho _i}} \right) \cdot V \cdot g > 0\]
An dieser Beziehung sieht man gut, dass die resultierende Kraft nur größer Null ist, wenn die Dichte der äußeren Luft größer ist als die Dichte der (inneren) Gasfüllung. Hierzu Beispiele für einige Dichtewerte von Gasen bei Normalbedingungen ((\(\vartheta = 0^\circ C\) und \(p = 1013{\rm{hPa}}\)))
| Gas | Luft | Helium | Wasserstoff |
|---|---|---|---|
| Dichte | \(1,3\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) | \(0,18\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) | \(0,090\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) |
Aufgabe
Aufgabe
a) Berechne die resultierende Kraft auf einen Ballon mit \(100{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\) Rauminhalt bei Normalbedingungen und \(\rm{(I)}\) einer Wasserstofffüllung und \(\rm{(II)}\) einer Heliumfüllung. Zur Vereinfachung werde angenommen, dass das Gewicht der Hülle und der Zuladung zu vernachlässigen ist.
b) Ein \(100{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\)-Ballon, der mit Leuchtgas gefüllt ist, erfährt unter den vereinfachenden Bedingungen von Aufgabenteil a) eine resultierende Kraft von \(490{\rm{N}}\). Berechne hieraus die Dichte von Leuchtgas.
Der Trick bei den Heißluftballons
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Neben der Füllung eines abgeschlossenen Ballons mit einem Gas geringerer Dichte (Gasballon) gibt es auch noch die Möglichkeit, die Luft im Ballon zu erwärmen (Heißluftballon). Wie du weißt, nimmt Luft bei höherer Temperatur (und gleichem Druck) ein größeres Volumen ein und hat somit eine geringere Dichte. Um die Verhältnisse beim Heißluftballon auch quantitativ erfassen zu können benötigen wird das allgemeine Gasgesetz. Dieses lautet
\[\frac{{p \cdot V}}{T} = {\rm{const}}{\rm{.}}\;\;\;{\rm{oder}}\;\;\;\frac{{{p_1} \cdot {V_1}}}{{{T_1}}} = \frac{{{p_2} \cdot {V_2}}}{{{T_2}}}\]
Wird die Luft im Ballon (\({{p_1}}\), \({{V_1}}\), \({{T_1}}\)) erwärmt, so geht sie in den neuen Zustand (\({{p_2}}\), \({{V_2}}\), \({{T_2}}\)) über. Da der Heißluftballon offen ist, gilt \({p_1} = {p_2} = {p_a}\). Damit vereinfacht sich die allgemeine Gasgleichung und man kann nun das neue Volumen des heißen Gases nach dem so genannten Gesetz von GAY und LUSSAC berechnen:
\[{V_2} = {V_1} \cdot \frac{{{T_2}}}{{{T_1}}}\]
Aus dem Ballon entweicht also heiße Luft mit dem Volumen
\[\Delta V = {V_2} - {V_1} = {V_1} \cdot \frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} - {V_1} = {V_1} \cdot \left( {\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} - 1} \right)\]
Entweicht z.B. ein Drittel des ursprünglich vorhandenen Gases, so die Masse des noch im Ballon befindlichen Gases zwei Drittel der Anfangsmasse. Für die Dichte des Gases im erwärmten Ballon gilt also
\[{\rho _{\rm{i}}} = \frac{{\frac{2}{3} \cdot m}}{V} = \frac{2}{3} \cdot \frac{m}{V} = \frac{2}{3} \cdot {\rho _{\rm{a}}}\]
Nun kann man nach den oben entwickelten Formeln die resultierende Kraft auf den Ballon berechnen.
Wer sich als Experte fühlt und sich nicht nur mit dem Zahlenbeispiel zufrieden geben will, sondern etwas tiefer einsteigen will, der kann die Umwandlung der allgemeinen Gasgleichung einblenden und nachvollziehen
Wie oben bereits erklärt wurde benötigt man für Berechnungen am Heißluftballon die allgemeine Gasgleichung und später zur Berechnung der resultierenden Kraft auf den Ballon die Dichte der Luft heißen Luft \({\rho _{\rm{i}}}\) innerhalb ds Ballon und die Dichte \({\rho _{\rm{a}}}\) der Außenluft. Es zeigt sich im Folgenden, dass die allgemeine Gasgleichung so umgeschrieben werden kann, dass mit ihr die Dichte \({\rho _{\rm{i}}}\) direkt berechnet werden kann.
Zunächst soll die Konstante im allgemeinen Gasgesetz etwas näher unter die Lupe genommen werden. Man kann nämlich zeigen, dass sie proportional zur Masse des eingeschlossenen Gases ist. Dies legt der folgende Gedankenversuche nahe:
Man denke sich zwei Behälter mit gleichem Volumen, von denen jeder Gas der Masse \(m\) beim Druck \(p\) und der Temperatur \(T\) enthält. Für jeden Behälter gilt \(\frac{{p \cdot V}}{T} = {{\rm{c}}_1}\).
Nun stellt man eine Verbindung zwischen diesen beiden Behältern her (das Volumen der Verbindung ist vernachlässigbar). Wie ändert sich dadurch der Druck und die Temperatur in den Behältern? Richtig! Es ändert sich gar nichts.
Man kann sich die beiden Behälter also zu einem verschmolzen denken, der das doppelte Volumen hat und Gas der doppelten Masse enthält - bei gleichem \(p\) und \(T\). Es gilt dann \(\frac{{p \cdot 2 \cdot V}}{T} = {{\rm{c}}_2}\).
Fazit: Bei gleichem Druck und gleicher Temperatur hat ein Gas mit \(n\)-fachem Volumen auch die \(n\)-fache Masse. Es gilt \(V \sim m\). Dieses Ergebnis kann man in der allgemeinen Gasgleichung wie folgt berücksichtigen:
\[\frac{{p \cdot V}}{T} = k \cdot m \Leftrightarrow \frac{m}{V} = \frac{p}{{T \cdot k}} \quad(1)\]
Für die Dichte des Gases gilt dann unter Verwendung von \((1)\)
\[m = \rho \cdot V \Leftrightarrow \rho = \frac{m}{V} = \frac{p}{{T \cdot k}}\quad(2)\]
Schreibt man die Gleichung \((2)\) für Normalbedingungen, so gilt
\[{\rho _0} = \frac{{{p_0}}}{{{T_0} \cdot k}} \Leftrightarrow \frac{1}{k} = \frac{{{\rho _0} \cdot {T_0}}}{{{p_0}}}\quad(3)\]
Ersetzt man in Gleichung \((2)\) den Faktor \(\frac{1}{k}\) gemäß Gleichung \((3)\), so folgt
\[\rho = \frac{p}{{T \cdot k}} = \frac{p}{T} \cdot \frac{1}{k} = \frac{p}{T} \cdot \frac{{{\rho _0} \cdot {T_0}}}{{{p_0}}} \Leftrightarrow \frac{\rho }{{{\rho _0}}} = \frac{p}{{{p_0}}} \cdot \frac{{{T_0}}}{T}\quad(4)\]
Gleichung \((4)\) stellt das allgemeine Gasgesetz dar. In dieser Form kann man die Dichte des Gases bei der Temperatur \(T\) und dem Druck \(p\) (beides Messgrößen) berechnen, wenn man die Dichte bei Normalbedingungen kennt.
Geht man beim Heißluftballon davon aus, dass die Dichte der äußeren Luft \({{\rho _{\rm{0}}}}\), die Außentemperatur \({{T_0}}\) und der Außendruck \({{p_0}}\) ist, so kann man aufgrund der Gleichheit von \(p\) und \({{p_0}}\) (Heißluftballon ist offen) für die Dichte des Gases im Inneren schreiben
\[\rho = {\rho _{\rm{i}}} = \frac{{{T_0}}}{{{T_{\rm{i}}}}} \cdot {\rho _0}\quad(5)\]
Wir erinnern uns an die Formel für die resultierende Kraft auf den Ballon (falls Hülle und Zuladung vernachlässigt werden dürfen):
\[{F_{{\rm{res}}}} = \left( {{\rho _{\rm{a}}} - {\rho _{\rm{i}}}} \right) \cdot V \cdot g\quad(6)\]
Setzt man \((5)\) in \((6)\) ein und berücksichtigt, dass die Dichte der äußeren Luft gleich der Normaldichte ist, so gilt schließlich
\[{F_{{\rm{res}}}} = \left( {{\rho _{\rm{0}}} - \frac{{{T_0}}}{{{T_{\rm{i}}}}} \cdot {\rho _0}} \right) \cdot V \cdot g = \left( {1 - \frac{{{T_0}}}{{{T_{\rm{i}}}}}} \right) \cdot {\rho _{\rm{0}}} \cdot V \cdot g\]