Übergreifend

Allgemeines und Hilfsmittel

Genauigkeitsangaben

  • Wie rundet man in der Physik eigentlich korrekt?
  • Wie wertet man eine Messreihe korrekt aus?
  • Wie stellt man eine Formel nach einer unbekannten Größe um?
  • Was ist eigentlich die wissenschaftliche Schreibweise?

Genauigkeitsangaben

Theorie

Jede Messung einer physikalischen Größe ist mit einem Fehler behaftet. Der Messfehler kann durch die Angabe eines Fehlerbereiches charakterisiert werden. Da diese Darstellung etwas umständlich ist, drückt man die Genauigkeit einer Größe durch die Zahl der gültigen Ziffern (kurz: g. Z.) aus. Der Rundungsbereich der Zahl stimmt dann mit dem Fehlerbereich überein.

Beispiel: Angabe einer Länge l

Angabe des Fehlerbereiches

l = 100 cm ± 0,5 cm (Fehlerbereich: 1 cm)

l = 100 cm ± 0,05 cm (Fehlerbereich: 1 mm)

l = 100 cm ± 0,005 cm (Fehlerbereich: 1/10 mm)

Angabe durch die Zahl der gültigen Ziffern

l = 100 cm

l = 100,0 cm

l = 100,00 cm

Feststellung der Zahl der gültigen Ziffern

Die Zahl der gültigen Ziffern ergibt sich durch Zählung der Stellen ab der höchstwertigen von Null verschiedenen Ziffer nach rechts.

Beispiele:

12 m →    2 g. Z. 0,0170 m → 3 g. Z.
12,0 m → 3 g. Z. 0,17 m →    2 g. Z.
  0,017 m →   2 g. Z.

Rechnen mit fehlerbehafteten Größen

Beispiel:
Berechnung einer Rechtecksfläche A aus Länge
l = 17 cm und Breite b = 5 cm. Würde man diese Zahlen - ohne viel nachzudenken - in die Formel A = b einsetzen, so ergäbe sich für A = 85 cm2.

Nach dem oben gesagten würde die Fläche im Bereich

84,5 cm2A < 85,5 cm2 (1)

liegen.

Betrachten wir nun die Flächenberechnung etwas genauer:
Für die Seiten gelten folgende Bereiche:

16,5 cm ≤ l < 17,5 cm;   4,5 cm ≤ b < 5,5 cm

Somit ergibt sich als minimale Fläche A :

Amin= 16,5 cm·4,5 cm = 74,25 cm2 ≈ 74 cm2

Für die maximale Fläche Amax gilt:

Amax = 17,5 cm·5,5 cm = 96,25 cm2 ≈ 96 cm2


Die genauere Betrachtung zeigt also:

74 cm2 A < 96 cm2 (2)

Der Fehlerbereich, den wir bei der sehr einfachen Rechnung (1) ermittelt haben, ist viel zu eng. Es wird bei der ersten Berechnung eine viel zu hohe Genauigkeit vorgetäuscht. Andererseits ist die Ermittlung des Fehlerbereiches (2) zu aufwändig. Als Kompromiss vereinbaren wir daher die folgende Faustregel:
 

Hat die ungenaueste mehrerer physikalischer Größen n gültige Stellen, so haben Quotient oder Produkt dieser Größen höchstens n gültige Stellen.

Angewandt auf unser Beispiel heißt das: A = 5·17 cm2 ≈ 9·101 cm2. Das Endergebnis hat nur eine gültige Ziffer (die Zehn oder evtl. andere Zehnerpotenzen zählen nicht mit!), da b nur eine gültige Ziffer besitzt. Für den Fehlerbereich ergibt sich:


8,5·101 cm2 A <  9,5·101 cm2 (3)


Man sieht, dass der Rundebereich (3) besser als der Bereich (1) mit dem genau ermittelten Fehlerbereich (2) übereinstimmt.

Hinweis:
Oft ist bei der Berücksichtigung der Zahl der gültigen Ziffern die Schreibweise mit Zehnerpotenzen sehr hilfreich:

\[1 = {10^0}\;;\;10 = {10^{1\;}}\;;\;100 = {10^2}\;;\;1000 = {10^3}\;{\rm{usw.}}\]

\[0,1 = \frac{1}{{10}} = {10^{ - 1\;;\;}}0,01 = \frac{1}{{100}} = {10^{ - 2}}\;;\;0,001 = \frac{1}{{1000}} = {10^{ - 3}}\;{\rm{usw}}{\rm{.}}\]

Eine genauere Information über die Potenzschreibweise erhältst du auf der entsprechenden Grundwissensseite!

Musterbeispiele:

1. Feststellung der Zahl der gültigen Ziffern

375 dm → 3 g. Z.; 0,0375 km → 3 g. Z. ; 0,03750 km → 4 g. Z. 3,000 A → 4 g. Z.

2. Einfache Umwandlung von Einheiten
Wandle unter Beibehaltung der gültigen Ziffern in die angegebene Einheit um:


a) 100 cm = ? m; richtig: 100 cm = 1,00 m (3 g.Z.);      falsch wäre: 100 cm (3 g.Z.) = 1 m(1 g.Z.)


b) 100 cm = ? km; richtig: 100 cm = 0,00100 km oder 100 cm = 1,00·10-3km;


c) 0,10 cm = ? m; richtig: 0,10 cm = 0,0010 m; oder 0,10 cm = 1,0·10-3m;


d) 100 μV = ? V; richtig: 100 μV = 100·10-6 V; oder 1,00·10-4 V;


e) 0,10 MΩ = ? Ω; richtig: 0,10 MΩ = 0,10·106 Ω; oder 1,0·105Ω;

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