Direkt zum Inhalt

Grundwissen

Gültige Ziffern mit Zehnerpotenzen

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Manchmal ist die Angabe der Lösung mit der richtigen Anzahl der gültigen Ziffern nicht direkt möglich.
  • Die Umwandlung in eine größere Einheit ist eine Lösungsmöglichkeit.
  • Durch den Einsatz von Zehnerpotenzen kannst du die Anzahl der gültigen Ziffern immer richtig angeben.

Beispiel

Wir berechnen den Flächeninhalt \(A\) eines Rechtecks mit der Länge \(l=17\,\rm{cm}\) und der Breite \(b=5\,\rm{cm}\).

Mit \(A = l \cdot b\) ergibt sich\[A = 17\,\rm{cm} \cdot 5\,\rm{cm} = 85\,\rm{cm}^2\]\[\Rightarrow 84{,}5\,\rm{cm}^2 \le A < 85{,}5\,\rm{cm}^2 \quad (1)\]

Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Flächen je nach tatsächlicher Länge und Breite

Mit der exakten Berechnung ergeben sich hingegen folgende Werte als minimaler bzw. maximaler Flächeninhalt\[{A_{\min}} = 16{,}5\,{\rm{cm}} \cdot 4{,}5\,{\rm{cm}} = 74{,}25\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2} \approx 74\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\]\[{A_{\max}} = 17{,}5\,{\rm{cm}} \cdot 5{,}5\,{\rm{cm}} = 96{,}25\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2} \approx 96\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\]\[\Rightarrow 74\,\rm{cm}^2 \le A < 96\,\rm{cm}^2 \quad(2)\]

Aus der Faustregel zu den gültigen Ziffern bei Rechnungen ergibt sich, dass das Ergebnis nur eine gültige Ziffer besitzt, da die Angaben der Breite mit \(b=5\,\rm{cm}\) nur eine gültige Ziffer hat. Eine Angabe des Ergebnisses in Form von \(A=85\,\rm{cm^2}\) hätte das Ergebnis aber zwei gültige Ziffern. Um dieses Problem zu lösen, hast du zwei Möglichkeiten: Umrechnen in eine größere Einheit oder Einsatz der Schreibweise mit Zehnerpotenzen.

Lösung durch Einheitenumwandlung

Eine einfache Möglichkeit dieses Problem zu lösen, ist die Umwandlung in die nächstgrößere Einheit. Im Beispiel mit einer Lösung in der Einheit \(\rm{cm^2}\) ist dies die Einheit \(\rm{dm^2}\). Die Umrechnungszahl bei Flächen ist 100. Es ist somit \[A = 17\,\rm{cm} \cdot 5\,{\rm{cm}}=85\,\rm{cm}^2= 0{,}9\,\rm{dm}^2\]womit das Ergebnis nur eine gültige Ziffer hat. Für den Fehlerbereich ergibt sich\[0{,}85\,\rm{dm}^2 \le A < 0{,}95\,\rm{dm}^2 \quad(3)\]

Lösung durch Schreibweise mit Zehnerpotenzen

Du kannst die Anzahl an gültigen Ziffern auch durch die Verwendung der Schreibweise mit Zehnerpotenzen immer richtig ausdrücken. Hierbei gilt allgemein\[1 = {10^0}\;;\;10 = {10^{1\;}}\;;\;100 = {10^2}\;;\;1000 = {10^3}\;{\rm{usw.}}\]\[0{,}1 = \frac{1}{{10}} = {10^{ - 1\;;\;}}0{,}01 = \frac{1}{{100}} = {10^{ - 2}}\;;\;0{,}001 = \frac{1}{{1000}} = {10^{ - 3}}\;{\rm{usw}}{\rm{.}}\]Eine genauere Information über die Potenzschreibweise erhältst du auf der entsprechenden Grundwissensseite.

Bei Größenangaben mit Zehnerpotenzen wird die Anzahl der gültigen Ziffern nur durch die Zahl vor der Zehnerpotenz festgelegt. Die Zehn oder evtl. andere Zehnerpotenzen zählen nicht mit. Somit kannst du das Beispiel mit Hilfe von Zehnerpotenzen wie folgt lösen:\[A = 17\,\rm{cm} \cdot 5\,{\rm{cm}}=85\,\rm{cm}^2= 9\cdot 10^1\,\rm{cm}^2\]Für den Fehlerbereich ergibt sich\[8{,}5\cdot 10^1\,\rm{cm}^2 \le A < 9{,}5\cdot 10^1\,\rm{cm}^2 \quad(4)\]Auf beide Lösungsarten stimmen die Rundungsbereiche \((3)\) bzw. \((4)\) besser mit dem genau ermittelten Fehlerbereich \((2)\) überein als der Bereich \((1)\) .

Einheitenumwandlung mit Zehnerpotenzen

Mit der Zehnerpotenzen kannst du auch Einheitenumwandlungen in kleinere Einheiten unter Beibehaltung der gültigen Ziffern durchführen. So ist \(2{,}0\,\rm{m}=20\,\rm{dm}=2{,}0\cdot 10^2\,\rm{cm}\).

Verständnisaufgabe