Direkt zum Inhalt

Aufgabe

Bestimmung von Wellenlängen mit dem Doppelspalt - Formelumstellung

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Um Aufgaben zur Bestimmung von Wellenlängen mit dem Doppelspalt zu lösen musst du häufig die Gleichung \(\lambda = \frac{{d \cdot {a_k}}}{{k \cdot e}}\) nach einer Größe auflösen, die unbekannt ist. Wie du das machen kannst, siehst du in der folgenden Animation.

Die Gleichung\[{\color{Red}{{\lambda}}} = \frac{{{d}} \cdot {{a_k}}}{{{k}} \cdot {{e}}} \]ist bereits nach \({\color{Red}{{\lambda}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die Gleichung\[{{\lambda}} = \frac{{\color{Red}{{d}}} \cdot {{a_k}}}{{{k}} \cdot {{e}}}\]nach \({\color{Red}{{d}}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[\frac{{\color{Red}{{d}}} \cdot {{a_k}}}{{{k}} \cdot {{e}}} = {{\lambda}}\]
Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \({{k}} \cdot {{e}}\). Auf der linken Seite der Gleichung kürzen sich \({{k}}\) und \({{e}}\) weg.\[{\color{Red}{{d}}} \cdot {{a_k}} = {{\lambda}} \cdot {{k}} \cdot {{e}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({{a_k}}\). Auf der linken Seite der Gleichung kürzt sich \({{a_k}}\) weg.\[{\color{Red}{{d}}} = \frac{{{\lambda}} \cdot {{k}} \cdot {{e}}}{{{a_k}}}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red}{{d}}}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{{\lambda}} = \frac{{{d}} \cdot {\color{Red}{{a_k}}}}{{{k}} \cdot {{e}}}\]nach \({\color{Red}{{a_k}}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[\frac{{{d}} \cdot {\color{Red}{{a_k}}}}{{{k}} \cdot {{e}}} = {{\lambda}}\]
Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \({{k}} \cdot {{e}}\). Auf der linken Seite der Gleichung kürzen sich \({{k}}\) und \({{e}}\) weg.\[{{d}} \cdot {\color{Red}{{a_k}}} = {{\lambda}} \cdot {{k}} \cdot {{e}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({{d}}\). Auf der linken Seite der Gleichung kürzt sich \({{d}}\) weg.\[{\color{Red}{{a_k}}} = \frac{{{\lambda}} \cdot {{k}} \cdot {{e}}}{{{d}}}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red}{{a_k}}}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{{\lambda}} = \frac{{{d}} \cdot {{a_k}}}{{\color{Red}{{k}}} \cdot {{e}}}\]nach \({\color{Red}{{k}}}\) aufzulösen, musst du zwei Umformungen durchführen:


Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \({\color{Red}{{k}}}\). Auf der rechten Seite der Gleichung kürzt sich \({\color{Red}{{k}}}\) weg.\[{{\lambda}} \cdot {\color{Red}{{k}}} = \frac{{{d}} \cdot {{a_k}}}{{{e}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({{\lambda}}\). Auf der linken Seite der Gleichung kürzt sich \({{\lambda}}\) weg.\[{\color{Red}{{k}}} = \frac{{{d}} \cdot {{a_k}}}{{{e}} \cdot {{\lambda}}}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red}{{k}}}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{{\lambda}} = \frac{{{d}} \cdot {{a_k}}}{{{k}} \cdot {\color{Red}{{e}}}}\]nach \({\color{Red}{{e}}}\) aufzulösen, musst du zwei Umformungen durchführen:


Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \({\color{Red}{{e}}}\). Auf der rechten Seite der Gleichung kürzt sich \({\color{Red}{{e}}}\) weg.\[{{\lambda}} \cdot {\color{Red}{{e}}} = \frac{{{d}} \cdot {{a_k}}}{{{k}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({{\lambda}}\). Auf der linken Seite der Gleichung kürzt sich \({{\lambda}}\) weg.\[{\color{Red}{{e}}} = \frac{{{d}} \cdot {{a_k}}}{{{k}} \cdot {{\lambda}}}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red}{{e}}}\) aufgelöst.
Abb. 1 Schrittweises Auflösen der Formel zur Bestimmung von Wellenlängen mit dem Doppelspalt nach den fünf in der Formel auftretenden Größen
a)

Ein Doppelspalt mit dem Spaltmittenabstand \(4{,}91 \cdot {10^{-4}}\,{\rm{m}}\) wird von parallelem monochromatischem Licht beleuchtet. Auf einem Schirm im Abstand \(2{,}00\,{\rm{m}}\) zum Spalt ist das erste Maximum im Abstand \(1{,}70\,{\rm{mm}}\) zum nullten Maximum zu beobachten.

Berechne die Wellenlänge des Lichts.

b)

Licht der Wellenlänge \(543\,{\rm{nm}}\) trifft parallel auf einen Doppelspalt. Auf einem \(2{,}00\,{\rm{m}}\) entfernten Schirm wird für den Abstand des Maximums \(4.\) Ordnung zum nullten Maximum der Wert \(10{,}9\,{\rm{mm}}\) gemessen.

Berechne den Abstand der Spaltmitten des Doppelspalts.

c)

Paralleles Licht der Wellenlänge \(500\,{\rm{nm}}\) fällt senkrecht auf einen Doppelspalt mit dem Spaltmittenabstand \(0{,}500\,{\rm{mm}}\). Das Beugungsbild wird auf einem ebenen Schirm aufgefangen, der parallel zur Doppelspaltebene in \(2{,}00\,{\rm{m}}\) Abstand aufgestellt ist.

Berechne den Abstand des \(5.\) Maximums zum nullten Maximum.

d)

Paralleles monochromatisches Licht der Wellenlänge \(750\,{\rm{nm}}\) fällt senkrecht auf einen Doppelspalt mit dem Spaltabstand \(0{,}100\,{\rm{mm}}\). Das entstehende Beugungsbild wird in Abstand von \(3{,}00\,{\rm{m}}\) vom Doppelspalt auf einem Schirm beobachtet. Im Abstand \(22{,}5{\rm{cm}}\) vom nullten Maximum erkennt man auf dem Schirm ein weiteres Maximum.

Berechne die Ordnung dieses Maximums.

e)

Paralleles monochromatisches Licht der Wellenlänge \(600\,{\rm{nm}}\) fällt senkrecht auf einen Doppelspalt mit dem Spaltabstand \(0{,}100\,{\rm{mm}}\). Das entstehende Beugungsbild wird auf einem Schirm beobachtet. Der Abstand des Maximums \(2.\) Ordnung vom nullten Maximum beträgt \(3{,}60\,{\rm{cm}}\).

Berechne den Abstand des Doppelspalts zum Schirm.

Lösung einblendenLösung verstecken Lösung einblendenLösung verstecken
a)

Mit \(d = 4{,}91 \cdot {10^{-4}}\,{\rm{m}}\), \(e=2{,}00\,\rm{m}\), \(k=1\) und \(a_4=1{,}70\,{\rm{mm}}=1{,}70\cdot 10^{-3}\,{\rm{m}}\) nutzen wir die Formel zur Wellenlängenbestimmung mit dem Doppelspalt\[\lambda = \frac{{d \cdot {a_k}}}{{k \cdot e}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\lambda  = \frac{4{,}91 \cdot {10^{-4}}\,{\rm{m}} \cdot 1{,}70 \cdot 10^{-3}\,\rm{m}}{1 \cdot 2{,}00\,\rm{m}} = 4{,}17 \cdot {10^{-7}}\,{\rm{m}} = 417 \cdot {10^{ - 9}}\,{\rm{m}} = 417\,{\rm{nm}}\]

b)

Mit \(\lambda = 534\,\rm{nm}=543 \cdot {10^{ - 9}}{\rm{m}}\), \(e=2{,}00\,\rm{m}\), \(k=4\) und \(a_4=10{,}9\,{\rm{mm}}=10{,}9\cdot 10^{-3}\,{\rm{m}}\) erhalten wir mit der Formel zur Wellenlängenbestimmung mit dem Doppelspalt\[\lambda  = \frac{{d \cdot {a_k}}}{{k \cdot e}} \Leftrightarrow d = \frac{{\lambda  \cdot k \cdot e}}{{{a_k}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[d = \frac{{543 \cdot {{10}^{ - 9}}\,{\rm{m}} \cdot 4 \cdot 2{,}00\,{\rm{m}}}}{{10{,}9 \cdot {{10}^{ - 3}}\,{\rm{m}}}} = 3{,}99 \cdot {10^{ - 4}}\,{\rm{m}}\]

c)

Mit \(\lambda = 500\,\rm{nm}=500 \cdot {10^{ - 9}}{\rm{m}}\), \(d=0{,}500\,{\rm{mm}}=0{,}500 \cdot 10^{-3}\,\rm{m}\), \(e=2{,}00\,\rm{m}\) und \(k=5\) erhalten wir mit der Formel zur Wellenlängenbestimmung mit dem Doppelspalt\[\lambda  = \frac{{d \cdot {a_k}}}{{k \cdot e}} \Leftrightarrow {a_k} = \frac{{\lambda  \cdot k \cdot e}}{d}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{a_k} = \frac{{500 \cdot {{10}^{ - 9}}\,{\rm{m}} \cdot 5 \cdot 2{,}00\,{\rm{m}}}}{{0{,}500 \cdot {{10}^{ - 3}}\,{\rm{m}}}} = 0{,}0100{\rm{m}} = 1{,}0{\rm{cm}}\]

d)

Mit \(\lambda = 750\,\rm{nm}=750 \cdot {10^{ - 9}}{\rm{m}}\), \(d=0{,}100\,{\rm{mm}}=0{,}100 \cdot 10^{-3}\,\rm{m}\), \(e=3{,}00\,\rm{m}\) und \(a_k=22{,}5\,{\rm{cm}}=22{,}5\cdot 10^{-2}\,{\rm{m}}\) erhalten wir mit der Formel zur Wellenlängenbestimmung mit dem Doppelspalt\[\lambda  = \frac{{d \cdot {a_k}}}{{k \cdot e}} \Leftrightarrow k = \frac{{d \cdot {a_k}}}{{e \cdot \lambda }}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[k = \frac{{0{,}100 \cdot {{10}^{ - 3}}\,{\rm{m}} \cdot 22{,}5 \cdot {{10}^{ - 2}}\,{\rm{m}}}}{{3{,}00\,{\rm{m}} \cdot 750 \cdot {{10}^{ - 9}}\,{\rm{m}}}} = 10\]

e)

Mit \(\lambda = 600\,\rm{nm}=600 \cdot {10^{ - 9}}{\rm{m}}\), \(d=0{,}100\,{\rm{mm}}=0{,}100 \cdot 10^{-3}\,\rm{m}\), \(k=2\) und \(a_2=3{,}60\,{\rm{cm}}=3{,}60\cdot 10^{-2}\,{\rm{m}}\) erhalten wir mit der Formel zur Wellenlängenbestimmung mit dem Doppelspalt\[\lambda  = \frac{{d \cdot {a_k}}}{{k \cdot e}} \Leftrightarrow e = \frac{{d \cdot {a_k}}}{{k \cdot \lambda }}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[e = \frac{{0{,}100 \cdot {{10}^{ - 3}}\,{\rm{m}} \cdot 3{,}60 \cdot {{10}^{ - 2}}\,{\rm{m}}}}{{2 \cdot 600 \cdot {{10}^{ - 9}}\,{\rm{m}}}} = 3{,}00\,{\rm{m}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Optik

Beugung und Interferenz