Prinzipieller Aufbau des Doppelspaltexperiments
Zur Darstellung des Beugungs- und Interferenzbildes eines Doppelspalts benutzt man üblicherweise einen wie in Abb. 1 dargestellten Aufbau. Hat man keinen Laser als kohärente Lichtquelle oder möchte man die Interferenz mit weißem Licht zeigen, so nutzt man eine Anordnung aus Kondensor, falls benötigt einem Farbfilter und einem Spalt, um kohärentes Licht zu erzeugen. Zur Erzeugung eines scharfen Bildes kann auch noch eine Abbildungslinse hinter dem Spalt verwendet werden.
Beobachtung auf dem Schirm
Die folgende Simulation zeigt dir das Bild, das auf einem kreisrunden Schirm entsteht, der um den Doppelspalt herum verläuft. Das Bild auf dem ebenen Schirm sieht aber ganz ähnlich aus.
Das Bild ist wesentlich breiter als das geometrische Schattenbild der beiden Spalte, da das Licht an den beiden Spalten gebeugt wird. Auch sind helle und dunkle Stellen im Bild erkannbar, da das Licht, das von den beiden Spalten ausgeht, interferiert. Wir sprechen deshalb oft auch vom Beugungs- und Interferenzbild hinter dem Doppelspalt.
Du siehst auf dem Schirm in der Mitte des Bildes einen sehr hellen Streifen. Diesen Streifen, genauer dessen hellste Stelle ganz in der Mitte, bezeichnen wir als das \(0\). Maximum. Rechts und links symmetrisch um dieses \(0\). Maximum herum siehst du weitere helle Streifen, die nach außen hin aber immer lichtschwächer werden. Wir bezeichnen diese Streifen, genauer wieder deren hellste Stellen, von innen nach außen als \(1\)., \(2\)., \(3\)., ... \(k\). Maximum. Zwischen den einzelnen Maxima befinden sich schmale, dunklere Bereiche. Deren dunkelste Stellen bezeichnen wir von innen nach außen als \(1\)., \(2\)., \(3\)., ... \(k\). Minimum.
In der Simulation kannst du den Abstand \(d\) der beiden Spaltmitten, die Breite \(b\) der einzelnen Spalte und die Wellenlänge \(\lambda\) des Lichts, das auf den Doppelspalt trifft, verändern und dabei die Auswirkungen auf das Bild hinter dem Doppelspalt beobachten.
Herleitung von Formeln zur Berechnung von Wellenlängen mit Doppelspalten
Wir leiten jetzt eine Formel her, die uns einen geometrischen Zusammenhang zwischen den Abmessungen des Versuchsaufbaus, dem Schirmbild und der Wellenlänge des einfallenden Lichts liefert.
Bei der Herleitung werden zwei Näherungen gemacht (vgl. Abb. 3):
- Wir vernachlässigen die Breite der beiden Spalte und gehen davon aus, dass das Licht an den Punkten \(\rm{S_1}\) und \(\rm{S_2}\) die Spalte verlässt.
- Wir gehen davon aus, dass der Schirm sehr weit vom Doppelspalt entfernt ist und das Licht, dass von den Punkten \(\rm{S_1}\) und \(\rm{S_2}\) zum Punkt \(\rm{A}\) fällt, parallel verläuft.
1. Schritt: Betrachtung für einen beliebigen Punkt \(\rm{A}\) auf dem Schirm
Die entscheidenen Größen findest du in Abb. 3. Wir nutzen folgende Bezeichnungen:
\(d\): Abstand der Mittelpunkte der beiden Spalte
\(e\): Abstand zwischen Doppelspalt und Schirm
\(a\): Abstand eines Punktes \(\rm{A}\) auf dem Schirm zum Punkt \(\rm{O}\), an dem sich das \(0\). Maximum befindet
\(\alpha\): Weite des Winkels \(\angle\,{\rm{O;M;A}}\)
Wir betrachten zuerst das große Dreieck \(\triangle \rm{M;O;A}\). Dieses Dreieck ist rechtwinklig, die Hypotenuse \(\overline {{\rm{M}}{\rm{A}}} \) hat nach dem Satz des PYTHAGORAS die Länge \(\sqrt{e^2+a^2}\). In diesem rechtwinkligen Dreieck gilt der Sinussatz für rechtwinklige Dreiecke\[\sin \left( \alpha \right) = \frac{a}{\sqrt{e^2+a^2}} \quad(1)\]
Wir betrachten weiter das große Dreieck \(\triangle \rm{S_1;S_2;A}\). Es zeigt die Wege des Lichts von den beiden Punkten \(\rm{S_1}\) und \(\rm{S_2}\) zum Punkt \(\rm{A}\). Die Strecken \(\overline {{\rm{S_1}}{\rm{A}}} \) und \(\overline {{\rm{S_2}}{\rm{A}}} \) sind nun unterschiedlich lang, ihren Längenunterschied bezeichnen wir mit \(\Delta s\) und markieren an der richtigen Stelle den Punkt \(\rm{P}\). Dadurch entsteht das kleine Dreieck \(\triangle \rm{S_1;S_2;P}\).
Mit der Näherung, dass die beiden Strecken \(\overline {{\rm{S_1}}{\rm{A}}} \) und \(\overline {{\rm{S_2}}{\rm{A}}} \) parallel verlaufen, ist der Winkel \(\angle\,{\rm{S_1;P;S_2}} \) dann ein rechter Winkel und das Dreieck \(\triangle \rm{S_1;S_2;P}\) ist rechtwinklig. Einfache Überlegungen in der gesamten Skizze in Abb. 3, die wir uns hier sparen, zeigen, dass die Weite des Winkels \(\angle\,{\rm{S_2;S_1;P}}\) ebenfalls \(\alpha\) beträgt.
Wir betrachten schließlich das kleine rechtwinklige Dreieck \(\triangle \rm{S_1;S_2;P}\). In diesem gilt ebenfalls der Sinussatz für rechtwinklige Dreiecke\[\sin \left( \alpha \right) = \frac{\Delta s}{d} \quad(2)\]
Setzen wir nun die rechten Seiten der Gleichungen \((1)\) und \((2)\) gleich, so erhalten wir die Gleichung\[\frac{{\Delta s}}{d} = \frac{a}{\sqrt{e^2+a^2}} \quad(3)\]
2. Schritt: Betrachtung für Maxima auf dem Schirm
Wenn am Punkt \(\rm{A}\) ein \(k.\) Maximum liegt, bezeichnen wir den Punkt mit \(\rm{A_k}\) und die Streckenlänge \(a\) aus Abb. 3 mit \(a_k\). Die Streckenlänge vom \(0.\) Maximum zum \(1.\) Maximum am Punkt \(\rm{A_1}\) wäre dann z.B. \(a_1\) u.s.w.
Ein Maximum am Punkt \(\rm{A_k}\) entsteht durch konstruktive Interferenz des Lichts, das von den beiden Punkten \(\rm{S_1}\) und \(\rm{S_2}\) ausgeht. Diese konstruktive Interferenz kann nur dann vorliegen, wenn die Streckenlänge \(\Delta s\) ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge \(\lambda\) ist, d.h. für\[\Delta s = k \cdot \lambda \;;\;k \in \left\{ {1\;;\;2\;;\;3\;;\;...} \right\}\]Setzen wir dies in Gleichung \((3)\) ein, so erhalten wir\[\frac{{k \cdot \lambda }}{d} = \frac{{{a_k}}}{\sqrt{e^2+{a_k}^2}} \;;\;k \in \left\{ {1\;;\;2\;;\;3\;;\;...} \right\} \quad (4^*)\]Lösen wir diese Gleichung schließlich nach \(\lambda\) auf, so erhalten wir die wichtige Formel \((4)\) zur Bestimmung von Wellenlängen mit dem Doppelspalt anhand der Maxima.
Bestimmung von Wellenlängen mit dem Doppelspalt anhand der Maxima
Mit den Bezeichnungen
\(\lambda\): Wellenlänge des einfallenden Lichts
\(d\): Abstand der Mittelpunkte der beiden Spalte
\(e\): Abstand zwischen Doppelspalt und Schirm
\(k\): Ordnung des betrachteten Maximums
\(a_k\): Abstand des \(k\). Maximums zum \(0\). Maximum
und für "große" Abstände \(e\) zwischen Doppelspalt und Schirm gilt\[\lambda = \frac{d \cdot {a_k}}{k \cdot \sqrt{e^2+{a_k}^2}}\;;\;k \in \left\{ {1\;;\;2\;;\;3\;;\;...} \right\} \quad (4)\]
Gleichung \((4)\) ermöglicht uns die Bestimmung der Wellenlänge von Licht. Wenn du das Licht auf einen Doppelspalt mit bekanntem Spaltmittenabstand \(d\) wirfst und die Größen \(e\), \(a_k\) und \(k\) misst, kannst du mit Gleichung \((4)\) die Wellenlänge \(\lambda\) des Lichts bestimmen.
Hinweis: In einigen Büchern und Erkärvideos wird statt Gleichung \((4)\) die Gleichung \(\lambda = \frac{d}{k} \cdot \sin \left( \arctan \left( \frac{a_k}{e} \right) \right) \;;\;k \in \left\{ {1\;;\;2\;;\;3\;;\;...} \right\} \) hergeleitet. Die beiden Gleichungen sind äquivalent und liefern die gleichen Ergebnisse.
Näherungsformel für schmale Schirmbilder
Falls das Schirmbild nur sehr schmal ist, d.h. die Abstände der \(k\). Maxima zum \(0\). Maximum sehr viel kleiner als der Abstand \(e\) zwischen Doppelspalt und Schirm sind, kann man in Gleichung \((4)\) im Nenner der rechten Seite den Term \(\sqrt{e^2+{a_k}^2}\) wegen \(\sqrt{e^2+{a_k}^2} \approx \sqrt{e^2} = e\) durch die Größe \(e\) ersetzen. Man erhält so eine recht gute Näherungsformel, die auch in vielen Schulbüchern und Formelsammlungen zu finden ist.
Bestimmung von Wellenlängen mit dem Doppelspalt anhand der Maxima (Näherungsformel)
Mit den Bezeichnungen
\(\lambda\): Wellenlänge des einfallenden Lichts
\(d\): Abstand der Mittelpunkte der beiden Spalte
\(e\): Abstand zwischen Doppelspalt und Schirm
\(k\): Ordnung des betrachteten Maximums
\(a_k\): Abstand des \(k\). Maximums zum \(0\). Maximum
und für "große" Abstände \(e\) zwischen Doppelspalt und Schirm und "kleinen" Abständen \(a_k\) der \(k\). Maxima zum \(0\). Maximum gilt\[\lambda = \frac{d \cdot {a_k}}{k \cdot e}\;;\;k \in \left\{ {1\;;\;2\;;\;3\;;\;...} \right\} \quad (5)\]
Auch wenn am Punkt \(\rm{A}\) ein \(k.\) Minimum liegt, bezeichnen wir den Punkt mit \(\rm{A_k}\) und die Streckenlänge \(a\) aus Abb. 1 mit \(a_k\). Die Streckenlänge vom \(0.\) Maximum zum \(1.\) Minimum am Punkt \(\rm{A_1}\) wäre dann z.B. \(a_1\) u.s.w.
Ein Minimum am Punkt \(\rm{A_k}\) entsteht durch destruktive Interferenz des Lichts, das von den beiden Punkten \(\rm{S_1}\) und \(\rm{S_2}\) ausgeht. Diese destruktive Interferenz kann nur dann vorliegen, wenn die Streckenlänge \(\Delta s\) ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge \(\lambda\) minus einer halben Wellenlänge ist, d.h. für\[\Delta s = \left( k - \frac{1}{2} \right) \cdot \lambda \;;\;k \in \left\{ {1\;;\;2\;;\;3\;;\;...} \right\}\]Setzen wir dies in Gleichung \((3)\) ein, so erhalten wir\[\frac{{\left( k - \frac{1}{2} \right) \cdot \lambda }}{d} = \frac{{{a_k}}}{\sqrt{e^2+{a_k}^2}} \;;\;k \in \left\{ {1\;;\;2\;;\;3\;;\;...} \right\} \quad (5^*)\]Lösen wir diese Gleichung schließlich nach \(\lambda\) auf, so erhalten wir die Formel \((6)\) zur Bestimmung von Wellenlängen mit dem Doppelspalt anhand der Minima\[\lambda = \frac{{d \cdot {a_k}}}{{\left( k - \frac{1}{2} \right) \cdot \sqrt{e^2+{a_k}^2}}}\;;\;k \in \left\{ {1\;;\;2\;;\;3\;;\;...} \right\} \quad (6)\]