Zur Darstellung des Beugungs- und Interferenzbildes eines Doppelspalts benutzt man üblicherweise den nebenstehenden Aufbau.
Die folgende Simulation zeigt das entstehende Bild.
Doppelspalt
Bezeichnet man mit \(d\) den Spaltabstand und mit \(\lambda\) die Wellenlänge und vernachlässigt die Spaltbreite \(b\), so gilt für die Lichtintensität \(I\) hinter dem Doppelspalt in Abhängigkeit von der Winkelweite \(\alpha\)\[I(\alpha ) = {I_0} \cdot {\left[ {\frac{{\sin \left( {\frac{{2 \cdot \pi \cdot d \cdot \sin (\alpha )}}{\lambda }} \right)}}{{\sin \left( {\frac{{\pi \cdot d \cdot \sin (\alpha )}}{\lambda }} \right)}}} \right]^2}\]bzw. mit \(\sin \left( {2x} \right) \sim \sin \left( x \right) \cdot \cos \left( x \right) \Rightarrow \frac{{\sin \left( {2x} \right)}}{{\sin \left( x \right)}} \sim \cos \left( x \right)\)\[I(\alpha ) = {I_0} \cdot {\cos ^2}\left( {\frac{{\pi \cdot d \cdot \sin (\alpha )}}{\lambda }} \right)\]Dabei ist \({I_0}\) die Intensität des Hauptmaximums (0. Maximum).
Als Bedingungen für die Winkelweiten \(\alpha_k\), unter denen Maxima auftreten, erhält man\[{\alpha _k} = 0^\circ \;\;{\rm{oder}}\;\;d \cdot \sin \left( {{\alpha _k}} \right) = k \cdot \lambda \;;\;k \in \left\{ {1\;;\;2\;;\;3\;;\;...} \right\}\]
Als Bedingungen für die Winkelweiten \(\alpha_k\), unter denen Minima auftreten, erhält man\[d \cdot \sin \left( {{\alpha _k}} \right) = \left( {2 \cdot k - 1} \right) \cdot \frac{\lambda }{2} = \left( {k - \frac{1}{2}} \right) \cdot \lambda \;;\;k \in \left\{ {1\;;\;2\;;\;3\;;\;...} \right\}\]
Berücksichtigt man dagegen die Spaltbreite \(b\), so gilt für die Lichtintensität \(I\) hinter dem Doppelspalt in Abhängigkeit von der Winkelweite \(\alpha\)\[I(\alpha ) = {I_0} \cdot \underbrace {{{\left[ {\frac{{\sin \left( {\frac{{2 \cdot \pi \cdot d \cdot \sin (\alpha )}}{\lambda }} \right)}}{{\sin \left( {\frac{{\pi \cdot d \cdot \sin (\alpha )}}{\lambda }} \right)}}} \right]}^2}}_{{\rm{Doppelspaltfunktion}}} \cdot \underbrace {{{\left[ {\frac{{\sin \left( {\frac{{\pi \cdot b \cdot \sin (\alpha )}}{\lambda }} \right)}}{{\frac{{\pi \cdot b \cdot \sin (\alpha )}}{\lambda }}}} \right]}^2}}_{{\rm{Einzelspaltfunktion}}}\]bzw. mit \(\sin \left( {2x} \right) \sim \sin \left( x \right) \cdot \cos \left( x \right) \Rightarrow \frac{{\sin \left( {2x} \right)}}{{\sin \left( x \right)}} \sim \cos \left( x \right)\)\[I(\alpha ) = {I_0} \cdot \underbrace {{{\cos }^2}\left( {\frac{{\pi \cdot d \cdot \sin (\alpha )}}{\lambda }} \right)}_{{\rm{Doppelspaltfunktion}}} \cdot \underbrace {{{\left[ {\frac{{\sin \left( {\frac{{\pi \cdot b \cdot \sin (\alpha )}}{\lambda }} \right)}}{{\frac{{\pi \cdot b \cdot \sin (\alpha )}}{\lambda }}}} \right]}^2}}_{{\rm{Einzelspaltfunktion}}}\]
Bestimmung von Wellenlängen mit dem Doppelspalt
Wir vernachlässigen die Spaltbreite \(b\) und nutzen folgende Bezeichnungen:
\(\lambda\): Wellenlänge des einfallenden Lichts
\(d\): Spaltabstand
\(e\): Abstand zwischen Doppelspalt und Schirm
\(k\): Ordnung des betrachteten Maximums
\(a_k\): Abstand des \(k\). Maximums zum \(0\). Maximum
Für "große" Abstände \(e\) zwischen Doppelspalt und Schirm gilt\[\lambda = \frac{{d \cdot {a_k}}}{{k \cdot e}}\;;\;k \in \left\{ {1\;;\;2\;;\;3\;;\;...} \right\}\]