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Grundwissen

Doppelspalt

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Beim Doppelspalt treten Interferenzerscheinungen auf.
  • Die Lage der Maxima und Minima wird vom Spaltabstand \(d\) und der Wellenlänge \(\lambda\) beeinflusst.
  • Es gibt Bedingungen für konstruktive und destruktive Interferenz.
Aufgaben Aufgaben
Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Versuchsanordnung

Zur Darstellung des Beugungs- und Interferenzbildes eines Doppelspalts benutzt man üblicherweise den nebenstehenden Aufbau.

Die folgende Simulation zeigt das entstehende Bild.

Doppelspalt
N = 2
Spaltabstand
d
Spaltbreite
b
Wellenlänge
λ
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Abb. 2 Winkelabhänge Intensitätsverteilung hinter einem Doppelspalt sowohl als optisches Bild als auch als Diagramm. Der rote Graph zeigt die durch die endliche Ausdehnung der Einzelspalte bedingte Einhüllende.
Doppelspalt

Bezeichnet man mit \(d\) den Spaltabstand und mit \(\lambda\) die Wellenlänge und vernachlässigt die Spaltbreite \(b\), so gilt für die Lichtintensität \(I\) hinter dem Doppelspalt in Abhängigkeit von der Winkelweite \(\alpha\)\[I(\alpha ) = {I_0} \cdot {\left[ {\frac{{\sin \left( {\frac{{2 \cdot \pi  \cdot d \cdot \sin (\alpha )}}{\lambda }} \right)}}{{\sin \left( {\frac{{\pi  \cdot d \cdot \sin (\alpha )}}{\lambda }} \right)}}} \right]^2}\]bzw. mit \(\sin \left( {2x} \right) \sim \sin \left( x \right) \cdot \cos \left( x \right) \Rightarrow \frac{{\sin \left( {2x} \right)}}{{\sin \left( x \right)}} \sim \cos \left( x \right)\)\[I(\alpha ) = {I_0} \cdot {\cos ^2}\left( {\frac{{\pi  \cdot d \cdot \sin (\alpha )}}{\lambda }} \right)\]Dabei ist \({I_0}\) die Intensität des Hauptmaximums (0. Maximum).

Als Bedingungen für die Winkelweiten \(\alpha_k\), unter denen Maxima auftreten, erhält man\[{\alpha _k} = 0^\circ \;\;{\rm{oder}}\;\;d \cdot \sin \left( {{\alpha _k}} \right) = k \cdot \lambda \;;\;k \in \left\{ {1\;;\;2\;;\;3\;;\;...} \right\}\]

Als Bedingungen für die Winkelweiten \(\alpha_k\), unter denen Minima auftreten, erhält man\[d \cdot \sin \left( {{\alpha _k}} \right) = \left( {2 \cdot k - 1} \right) \cdot \frac{\lambda }{2} = \left( {k - \frac{1}{2}} \right) \cdot \lambda \;;\;k \in \left\{ {1\;;\;2\;;\;3\;;\;...} \right\}\]

Berücksichtigt man dagegen die Spaltbreite \(b\), so gilt für die Lichtintensität \(I\) hinter dem Doppelspalt in Abhängigkeit von der Winkelweite \(\alpha\)\[I(\alpha ) = {I_0} \cdot \underbrace {{{\left[ {\frac{{\sin \left( {\frac{{2 \cdot \pi \cdot d \cdot \sin (\alpha )}}{\lambda }} \right)}}{{\sin \left( {\frac{{\pi \cdot d \cdot \sin (\alpha )}}{\lambda }} \right)}}} \right]}^2}}_{{\rm{Doppelspaltfunktion}}} \cdot \underbrace {{{\left[ {\frac{{\sin \left( {\frac{{\pi \cdot b \cdot \sin (\alpha )}}{\lambda }} \right)}}{{\frac{{\pi \cdot b \cdot \sin (\alpha )}}{\lambda }}}} \right]}^2}}_{{\rm{Einzelspaltfunktion}}}\]bzw. mit \(\sin \left( {2x} \right) \sim \sin \left( x \right) \cdot \cos \left( x \right) \Rightarrow \frac{{\sin \left( {2x} \right)}}{{\sin \left( x \right)}} \sim \cos \left( x \right)\)\[I(\alpha ) = {I_0} \cdot \underbrace {{{\cos }^2}\left( {\frac{{\pi \cdot d \cdot \sin (\alpha )}}{\lambda }} \right)}_{{\rm{Doppelspaltfunktion}}} \cdot \underbrace {{{\left[ {\frac{{\sin \left( {\frac{{\pi \cdot b \cdot \sin (\alpha )}}{\lambda }} \right)}}{{\frac{{\pi \cdot b \cdot \sin (\alpha )}}{\lambda }}}} \right]}^2}}_{{\rm{Einzelspaltfunktion}}}\]

Bestimmung von Wellenlängen mit dem Doppelspalt

Wir vernachlässigen die Spaltbreite \(b\) und nutzen folgende Bezeichnungen:

\(\lambda\): Wellenlänge des einfallenden Lichts
\(d\): Spaltabstand
\(e\): Abstand zwischen Doppelspalt und Schirm
\(k\): Ordnung des betrachteten Maximums
\(a_k\): Abstand des \(k\). Maximums zum \(0\). Maximum

Für "große" Abstände \(e\) zwischen Doppelspalt und Schirm gilt\[\lambda  = \frac{{d \cdot {a_k}}}{{k \cdot e}}\;;\;k \in \left\{ {1\;;\;2\;;\;3\;;\;...} \right\}\]