Beugung und Interferenz

Bezeichnet man mit \(d\) den Spaltabstand und mit \(\lambda\) die Wellenlänge und vernachlässigt die Spaltbreite \(b\), so gilt für die Lichtintensität \(I\) hinter dem Doppelspalt in Abhängigkeit von der Winkelweite \(\alpha\)\[I(\alpha ) = {I_0} \cdot {\left[ {\frac{{\sin \left( {\frac{{2 \cdot \pi  \cdot d \cdot \sin (\alpha )}}{\lambda }} \right)}}{{\sin \left( {\frac{{\pi  \cdot d \cdot \sin (\alpha )}}{\lambda }} \right)}}} \right]^2}\]bzw. mit \(\sin \left( {2x} \right) \sim \sin \left( x \right) \cdot \cos \left( x \right) \Rightarrow \frac{{\sin \left( {2x} \right)}}{{\sin \left( x \right)}} \sim \cos \left( x \right)\)\[I(\alpha ) = {I_0} \cdot {\cos ^2}\left( {\frac{{\pi  \cdot d \cdot \sin (\alpha )}}{\lambda }} \right)\]Dabei ist \({I_0}\) die Intensität des Hauptmaximums (0. Maximum).

Als Bedingungen für die Winkelweiten \(\alpha_k\), unter denen Maxima auftreten, erhält man\[{\alpha _k} = 0^\circ \;\;{\rm{oder}}\;\;d \cdot \sin \left( {{\alpha _k}} \right) = k \cdot \lambda \;;\;k \in \left\{ {1\;;\;2\;;\;3\;;\;...} \right\}\]

Als Bedingungen für die Winkelweiten \(\alpha_k\), unter denen Minima auftreten, erhält man\[d \cdot \sin \left( {{\alpha _k}} \right) = \left( {2 \cdot k - 1} \right) \cdot \frac{\lambda }{2} = \left( {k - \frac{1}{2}} \right) \cdot \lambda \;;\;k \in \left\{ {1\;;\;2\;;\;3\;;\;...} \right\}\]

Berücksichtigt man dagegen die Spaltbreite \(b\), so gilt für die Lichtintensität \(I\) hinter dem Doppelspalt in Abhängigkeit von der Winkelweite \(\alpha\)\[I(\alpha ) = {I_0} \cdot \underbrace {{{\left[ {\frac{{\sin \left( {\frac{{2 \cdot \pi \cdot d \cdot \sin (\alpha )}}{\lambda }} \right)}}{{\sin \left( {\frac{{\pi \cdot d \cdot \sin (\alpha )}}{\lambda }} \right)}}} \right]}^2}}_{{\rm{Doppelspaltfunktion}}} \cdot \underbrace {{{\left[ {\frac{{\sin \left( {\frac{{\pi \cdot b \cdot \sin (\alpha )}}{\lambda }} \right)}}{{\frac{{\pi \cdot b \cdot \sin (\alpha )}}{\lambda }}}} \right]}^2}}_{{\rm{Einzelspaltfunktion}}}\]bzw. mit \(\sin \left( {2x} \right) \sim \sin \left( x \right) \cdot \cos \left( x \right) \Rightarrow \frac{{\sin \left( {2x} \right)}}{{\sin \left( x \right)}} \sim \cos \left( x \right)\)\[I(\alpha ) = {I_0} \cdot \underbrace {{{\cos }^2}\left( {\frac{{\pi \cdot d \cdot \sin (\alpha )}}{\lambda }} \right)}_{{\rm{Doppelspaltfunktion}}} \cdot \underbrace {{{\left[ {\frac{{\sin \left( {\frac{{\pi \cdot b \cdot \sin (\alpha )}}{\lambda }} \right)}}{{\frac{{\pi \cdot b \cdot \sin (\alpha )}}{\lambda }}}} \right]}^2}}_{{\rm{Einzelspaltfunktion}}}\]