Zirkone sind Minerale, deren Entstehungszeitpunkt mit der Uran-Blei-Methode bestimmt werden kann. Daraus lässt sich oftmals auch das Alter des Gesteins ermitteln, in welchem sie enthalten sind. Die Uran-Blei-Methode basiert darauf, dass \({}_{}^{238}{\rm{U}}\) über mehrere Zwischenprodukte in das stabile \({}_{}^{206}{\rm{Pb}}\) zerfällt.
a)Erkläre, dass \({}_{}^{232}{\rm{Th}}\) kein Zwischenprodukt dieser Zerfallsreihe sein kann. (3 BE)
Die Zerfallsreihe kann in guter Näherung als direkter Zerfall von \({}_{}^{238}{\rm{U}}\) nach \({}_{}^{206}{\rm{Pb}}\) mit einer Halbwertszeit \(T\) von 4,5 Milliarden Jahren beschrieben werden. \({N_{{\rm{Pb}}}}\left( t \right)\) bezeichnet die Anzahl der \({}_{}^{206}{\rm{Pb}}\)-Atome und \({N_{{\rm{U}}}}\left( t \right)\) die Anzahl der \({}_{}^{238}{\rm{U}}\)-Atome in einer Gesteinsprobe zur Zeit \(t\) nach der Entstehung des Minerals. Es soll vereinfachend angenommen werden, dass zum Zeitpunkt der Entstehung kein Blei in der Probe vorhanden war.
b)Begründe den Zusammenhang \({N_{{\rm{Pb}}}}\left( t \right) = {N_0} - {N_{\rm{U}}}\left( t \right)\). Gehe insbesondere darauf ein, wofür die Konstante \({N_0}\) steht. (4 BE)
Für das Verhältnis der Teilchenzahlen in Abhängigkeit von der Zeit ergeben sich die in der folgenden Tabelle dargestellten Werte.
\(t\) |
\(0\) |
\(0{,}5 \cdot T\) |
\(T\) |
\(2 \cdot T\) |
\(3 \cdot T\) |
\(\frac{{{N_{{\rm{Pb}}}}\left( t \right)}}{{{N_{\rm{U}}}\left( t \right)}}\) |
\(0\) |
\(0{,}41\) |
\(1\) |
\(3\) |
\(7\) |
c)Begründe ohne Rechnung, dass die Werte dieses Verhältnisses mit der Zeit zunehmen. (4 BE)
d)Bestätige für \(t = 3 \cdot T\) den Wert von \(\frac{{{N_{{\rm{Pb}}}}}}{{{N_{\rm{U}}}}}\) in der Tabelle. (5 BE)
e)Für die untersuchte Gesteinsprobe wird ein Verhältnis von \(\frac{{{N_{{\rm{Pb}}}}}}{{{N_{\rm{U}}}}} = 0{,}75\) gemessen.
Erstelle anhand der Tabelle ein Diagramm, in welchem das Verhältnis \({{N_{{\rm{Pb}}}}}\) zu \({{N_{\rm{U}}}}\) in Abhängigkeit von der Zeit dargestellt wird.
Bestimme graphisch das Alter des Minerals. (5 BE)