Kraft und Masse; Ortsfaktor

Mechanik

Kraft und Masse; Ortsfaktor

  • Was ist denn der Unterschied zwischen Masse und Gewicht?
  • Nimmt man eigentlich im Weltall ab?
  • Ist ein Kilogramm Gold wirklich überall gleich schwer?

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Die Gewichtskraft kommt durch die Fallbeschleunigung \(g\) zustande.
  • Die Fallbeschleunigung hat auf der Erde den Wert \(g=9{,}81\,\rm{\frac{m}{s^2}}\), auf anderen Himmelskörpern andere Werte.
  • Für die Gewichtskraft \(F_g\) gilt \(F_g=m\cdot g\).

Die Gewichtskraft ist der Krafttyp mit dem wir im Alltagsleben ständig zu tun haben. Ihre Wirkung erkennen wir zum einen daran, dass durch sie Gegenstände verformt oder beschleunigt werden.

Verformende Wirkung der Gewichtskraft

1 Verformende Wirkung der Gewichtskraft: Als Folge der Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) wird die Unterlage geringfügig verformt. Die durch die Verformung nach oben wirkende Kraft \(F_{rm{F}}\) kompensiert die Gewichtskraft.

Als Folge der Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) wird z.B. die Unterlage, auf der eine Person steht (meist geringfügig) verformt. Die bei der Verformung des Bodens nach oben wirkende Kraft \(\vec F_{\rm{F}}\) kompensiert die Gewichtskraft. Vergleiche hierzu den Versuch zum Nachweis der Unterlagenverformung.

Ein an einer Schnur aufgehängter Körper verformt die Schnur, die dabei auftretende, nach oben gerichtete "Schnurkraft" kompensiert die Gewichtskraft.

Beschleunigende Wirkung der Gewichtskraft

2 Beschleunigende Wirkung der Gewichtskraft: Als Folge der Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) beschleunigt der Körper in Richtung Erdboden.

Wird der Körper weder gehalten noch unterstützt, so fällt der Körper frei, d.h. er führt eine beschleunigte Fallbewegung aus. Schon Galilei stellte fest, dass an einem festen Ort die Fallbeschleunigung unabhängig von der Masse der Körper ist. Dabei dürfen natürlich andere Kräfte wie z.B. die Luftreibung keine Rolle spielen (vgl. Versuch mit der Fallröhre).

  • Die Fallbeschleunigung, auch Ortsfaktor genannt, hat auf der Erde in etwa den Wert \(9{,}81\,\rm{\frac{m}{{{s^2}}}}\).
  • Die Bezeichnung Ortsfaktor für die Fallbeschleunigung kommt daher, dass Sie ist ortsabhängig. An verschiedenen Orten auf der Erden unterscheiden sich die Ortsfaktoren geringfügig voneinander (vgl. dazu die entsprechende Seite). Auf anderen Himmelkörpern sind deutlich von \(9,81\frac{m}{{{s^2}}}\) abweichende Fallbeschleunigungen festzustellen.
  • Nach dem Kraftgesetz von Newton gilt zwischen der Fallbeschleunigung \(g\), der Masse \(m\) und der Gewichtskraft \({F_g}\) der folgende Zusammenhang:

Gewichtskraft und Fallbeschleunigung

\[{F_g} = m \cdot g\]

Richtung der Gewichtskraft

Die Gewichtskraft wirkt immer in Richtung des Erdmittelpunktes. Dies gilt, weil die Erde relativ kreisförmig ist und so ihren Schwerpunkt im Mittelpunkt hat.

Gewichtskraft in Richtung des Erdmittelpunktes
Abb.
3
Gewichtskraft in Richtung des Erdmittelpunktes

Andere Planeten, andere Ortsfaktoren \(g\)

Die Fallbeschleunigung bzw. der Ortsfaktor \(g\) hängt vom Planeten bzw. Himmelskörper ab, auf dem du dich gerade befindest. Auf der Erde ist \(g= 9{,}81\rm{\frac{m}{s^2}}\). Auf dem Mond ist die Fallbeschleunigung mit \(g_{\rm{Mond}}= 1{,}62\rm{\frac{m}{s^2}}\) sehr viel geringer. Auf dem Jupiter hingegen ist die Fallbeschleunigung viel größer und beträgt \(g_{\rm{Jupiter}}= 24{,}79\rm{\frac{m}{s^2}}\). 

Umformen der Gleichung der Gewichtskraft

Um Aufgaben zur Gewichtskraft zu lösen musst du häufig die Gleichung \(\color{Red}{F_{\rm{G}}} = g \cdot \color{Blue}{m}\) nach einer Größe, die unbekannt ist, auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in der folgenden Animation.

Die Gleichung\[\color{Red}{{F_{\rm{G}}}} = {{g}} \cdot {{m}}\]ist bereits nach \(\color{Red}{{F_{\rm{G}}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die Gleichung\[{{F_{\rm{G}}}} = \color{Red}{{g}} \cdot {{m}}\]nach \(\color{Red}{{g}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[\color{Red}{{g}} \cdot {{m}} = {{F_{\rm{G}}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({{m}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({{m}}\) im Nenner steht.
\[\frac{\color{Red}{{g}} \cdot {{m}}}{{{m}}} = \frac{{{F_{\rm{G}}}}}{{{m}}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({{m}}\).\[\color{Red}{{g}} = \frac{{{F_{\rm{G}}}}}{{{m}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{{g}}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{{F_{\rm{G}}}} = {{g}} \cdot \color{Red}{{m}}\]nach \(\color{Red}{{m}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{{g}} \cdot \color{Red}{{m}} = {{F_{\rm{G}}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({{g}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({{g}}\) im Nenner steht.
\[\frac{{{g}} \cdot \color{Red}{{m}}}{{{g}}} = \frac{{{F_{\rm{G}}}}}{{{g}}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({{g}}\).\[\color{Red}{{m}} = \frac{{{F_{\rm{G}}}}}{{{g}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{{m}}\) aufgelöst.
4 Schrittweises Auflösen der Formel für die Gewichtskraft nach den drei in der Formel auftretenden Größen

Ursache der Gewichtskraft

In der griechischen Naturlehre begründete man das Fallen eines Körpers mit Hilfe der "natürlichen Bewegungen". Schon vor Galilei und Newton war man sich darüber klar, dass die - das Fallen bewirkende - Gewichtskraft durch die Erdanziehung zu erklären ist:

Ein auf der Erdoberfläche befindlicher Körper wird von der Erde angezogen. Die wirkende Kraft bezeichnet man als Erdanziehungskraft oder Gewichtkraft \({F_g}\).

Wechselwirkungsprinzip

 actio gleich reactio zwischen Körper und Erde
Abb.
1
actio gleich reactio

Die Gewichtskraft ist keine Körpereigenschaft, d.h. sie hängt nicht ausschließlich vom betrachteten Körper ab, sondern auch von dem Himmelsobjekt, auf dem sich der Körper befindet. Zur Gewichtskraft "gehören also zwei", die miteinander wechselwirken. Dies entspricht auch dem Wechselwirkungsprinzip von Newton. Es besagt, dass dann auch der Körper auf die Erde eine gleichgroße, aber entgegengesetzte Kraft ausübt (actio gegengleich reactio).

Sprechweisen

Da für die Gewichtskraft der Himmelskörper mit entscheidend ist, sollte man die Sprechweise: "Der Körper hat die Gewichtskraft" durch den Ausdruck "Der Körper erfährt die Gewichtskraft" ersetzen. Etwas salopp wird im täglichen Leben die Gewichtskraft auch kurz als "Gewicht" bezeichnet.

Graviationsgesetz

Als tiefere Ursache für die Gewichtskraft erkannte Newton die Massenanziehung oder Gravitation:

Das Graviationsgesetz beschreibt die Kräfte zwischen zwei Körpern 1 und 2 mit den Massen \(m_1\) und \(m_2\), deren Schwerpunkte sich in einem Abstand \(r\) voneinander befinden. Dabei bezeichnen wir die beiden Kräfte mit \({\vec F}_{12}\) (Kraft, die Körper 1 auf Körper 2 ausübt) und \({\vec F}_{21}\) (Kraft, die Körper 2 auf Körper 1 ausübt); die beiden Kräfte sind nach dem 3. NEWTONschen Axiom entgegengesetzt gerichtet und betragsgleich, d.h. \(F = \left| {{{\vec F}_{12}}} \right| = \left| {{{\vec F}_{21}}} \right|\).

Die folgende Simulation zeigt die prinzipielle Abhängigkeit der beiden Kräfte \({\vec F}_{12}\) und \({\vec F}_{21}\) von den Massen\(m_1\) und \(m_2\) sowie ihrem Abstand \(r\).

m1
m2
r
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
2 Prinzipielle Abhängigkeit der beiden Kräfte \({\vec F}_{12}\) und \({\vec F}_{21}\) von den Größen \(m_1\), \(m_2\) und \(r\)

Du kannst erkennen, dass

  • bei festem Abstand \(r\) die Gravitationskraft mit der Zunahme der beiden Massen \(m_1\) und \(m_2\) ebenfalls zunimmt.
  • bei festen Massen \(m_1\) und \(m_2\) die Gravitationskraft mit der Zunahme des Abstandes \(r\) dagegen abnimmt.

Weiter Fakten zum Gravitationsgesetz

Apfel
Abb.
3
Apfel
  • Newton präzisierte seine Erkenntnis auch in einem quantitativen Gesetz, dem sogenannten Gravitationsgesetz, welches du in einer höheren Klassenstufe kennen lernen wirst.
  • Angeblich hatte Newton die Idee zum Gravitationsgesetz beim Beobachten eines fallenden Apfels.
  • Die Gravitation ist sowohl die Ursache für die Gewichtskraft, aber auch für die Bewegung des Mondes um die Erde oder der Bewegung der Erde um die Sonne.
  • Auch zwischen dir und deinem Banknachbarn in der Schule muss nach Newton eine Gravitationskraft bestehen. Jedoch sind in der Regel die Massen der beteiligten Körper zu gering, um diese Kraft feststellen zu können. Hat jedoch mindestens einer der Wechselwirkungspartner eine sehr große Masse (Beispiel: \({m_{erde}} = 6 \cdot {10^{24}}kg = 6000000000000000000000000kg\)) so treten Kräfte auf, die durchaus für uns spürbar und leicht messbar sind.
  • Den Nachweis der Massenanziehung zwischen zwei Körpern auf der Erde konnte zuerst Henry Cavendish durch ein sehr geschicktes Experiment führen.
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