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Aufgabe

Rückstoß - Sonderfall 2

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

HTML5-Canvas nicht unterstützt!
Abb. 1 Rückstoß mit \({m_1} \gg {m_2}\) und \(v = 0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\)

Als zweiten Sonderfall des Rückstoßes bezeichnen wir folgende Situation:

Körper 1 hat eine wesentlich größere Masse als Körper 2: \({m_1} \gg {m_2}\)

Körper 1 und Körper 2 ruhen vor dem Stoß: \(v = 0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\)

Leite aus den allgemeinen Formeln für den Rückstoß die Formeln\[{v_1}^\prime =0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]\[{v_2}^\prime = \sqrt {\frac{{ - 2 \cdot \Delta E}}{{{m_2}}}} \]her.

Hinweis: Bei der Lösung dieser Aufgabe kann dir ein Computeralgebrasystem wie z.B. GeoGebra CAS gute Dienste leisten. Mit wenigen Befehlen kannst du die Rechnungen online selbst durchführen.

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Aus den Ergebnissen für die Geschwindigkeiten der beiden Körper nach dem Rückstoß\[{v_1}^\prime = v - \sqrt {\frac{{ - 2 \cdot {m_2} \cdot \Delta E}}{{{m_1}^2 + {m_1} \cdot {m_2}}}}\]\[{v_2}^\prime = v + \sqrt {\frac{{ - 2 \cdot {m_1} \cdot \Delta E}}{{{m_2}^2 + {m_1} \cdot {m_2}}}}\]folgt mit \(v=0\) zuerst einmal\[{v_1}^\prime = 0 - \sqrt {\frac{{ - 2 \cdot {m_2} \cdot \Delta E}}{{{m_1}^2 + {m_1} \cdot {m_2}}}}\]Dividiert man Zähler und Nenner des Bruches unter der Wurzel durch \({m_1}^2\) , so ergibt sich\[{v_1}^\prime  =  - \sqrt {\frac{{ - 2 \cdot {m_2} \cdot \Delta E}}{{{m_1}^2 + {m_1} \cdot {m_2}}}}  =  - \sqrt {\frac{{ - 2 \cdot \frac{{{m_2}}}{{{m_1}^2}} \cdot \Delta E}}{{1 + \frac{{{m_2}}}{{{m_1}}}}}} \]Da \({m_1} \gg {m_2}\) ist, gilt \({\frac{{{m_2}}}{{{m_1}}} \approx 0}\) und \({\frac{{{m_2}}}{{{{m_1}^2}}} \approx 0}\), und somit folgt\[{v_1}^\prime  =  - \sqrt {\frac{{ - 2 \cdot 0 \cdot \Delta E}}{{1 + 0}}}  = 0\]Weiter ergibt sich mit \(v=0\)\[{v_2}^\prime = 0 + \sqrt {\frac{{ - 2 \cdot {m_1} \cdot \Delta E}}{{{m_2}^2 + {m_1} \cdot {m_2}}}}\]Dividiert man Zähler und Nenner des Bruches unter der Wurzel durch \({m_1}\) , so ergibt sich\[{v_2}^\prime  = \sqrt {\frac{{ - 2 \cdot \frac{{{m_1}}}{{{m_1}}} \cdot \Delta E}}{{\frac{{{m_2}^2}}{{{m_1}}} + {m_2}}}} \]Da \({m_1} \gg {m_2}\) ist, gilt \({\frac{{{m_2}^2}}{{{m_1}}} \approx 0}\), und somit folgt\[{v_2}^\prime  = \sqrt {\frac{{ - 2 \cdot 1 \cdot \Delta E}}{{0 + {m_2}}}}  = \sqrt {\frac{{ - 2 \cdot \Delta E}}{{{m_2}}}} \]Die Lösung der Aufgabe mit GeoGebra findest du hier.