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Aufgabe

U-Rohr mit zwei Flüssigkeiten

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Ein U-Rohr hat auf der Seite X die Querschnittsfläche \({A_{\rm{X}}} = 1{,}50\,\rm{cm^2}\) und auf der Seite Y die Querschnittsfläche \({A_{\rm{Y}}} = 2{,}50\,\rm{cm^2}\). Es ist teilweise mit Quecksilber  \(\left(\rho _{\rm{Hg}} = 13{,}6\,\rm{\frac{g}{cm^3}}\right)\) gefüllt.

Berechne, wie hoch das Quecksilber auf der Seite Y ansteigt , wenn auf der Seite X ein Volumen von \({V_{\rm{W}}} = 30{,}0\,\rm{cm^3}\) Wasser eingefüllt wird.

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Wir betrachten die Druckverhältnisse auf der Höhe des unteren Endes der Wassersäule; das obere Ende der Quecksilbersäule befinde sich dann um die Streckenlänge \(h\) darüber. Dann gilt für die beiden Seiten X und Y\[{p_{\rm{X}}} = \frac{{{V_{{\rm{Wasser}}}} \cdot {\rho _{{\rm{Wasser}}}} \cdot g}}{{{A_{\rm{X}}}}}+p_{\rm{Luft}}\]bzw.\[{p_{\rm{Y}}} = \frac{{{V_{{\rm{Hg}}}} \cdot {\rho _{{\rm{Hg}}}} \cdot g}}{{{A_{\rm{Y}}}}}+p_{\rm{Luft}} = \frac{{h \cdot {A_{\rm{Y}}} \cdot {\rho _{{\rm{Hg}}}} \cdot g}}{{{A_{\rm{Y}}}}}+p_{\rm{Luft}} = h \cdot {\rho _{{\rm{Hg}}}} \cdot g+p_{\rm{Luft}}\]Im Gleichgewichtsfall sind diese beiden Drücke gleich groß; damit ergibt sich\[{p_{\rm{X}}} = {p_{\rm{Y}}} \Leftrightarrow \frac{{{V_{{\rm{Wasser}}}} \cdot {\rho _{{\rm{Wasser}}}} \cdot g}}{{{A_{\rm{X}}}}}+p_{\rm{Luft}} = h \cdot {\rho _{{\rm{Hg}}}} \cdot g+p_{\rm{Luft}} \Leftrightarrow h = \frac{{{V_{{\rm{Wasser}}}} \cdot {\rho _{{\rm{Wasser}}}}}}{{{A_{\rm{X}}} \cdot {\rho _{{\rm{Hg}}}}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[h = \frac{30{,}0\,\rm{cm^3} \cdot 1{,}00\,\rm\frac{g}{cm^3}}{1{,}50\,\rm{cm^2} \cdot 13{,}6\,\rm{\frac{g}{cm^3}}} = 1{,}47\,\rm{cm}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Druck und Auftrieb