Radioaktivität - Fortführung

Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Bei den radioaktiven Zerfällen ändern die \({\beta ^ - }\)-Zerfälle und die \(\gamma \)-Zerfälle die Massenzahl überhaupt nicht; die \(\alpha \)-Zerfälle führen zu einer Abnahme der Massezahl um jeweils \(4\) Einheiten. Da sich die Massezahl von \({}_{}^{238}{\rm{U}}\) und \({}_{}^{232}{\rm{Th}}\) um \(6\) Einheiten unterscheiden, kann \({}_{}^{232}{\rm{Th}}\) nicht zur Uranreihe gehören (es wären nur Unterschiede in der Massenzahl um \(4\); \(8\); \(12\) ... usw. denkbar).

b)\({{N_0}}\) ist die Zahl der bei der Entstehung der Probe vorhandenen \({}_{}^{238}{\rm{U}}\)-Kerne. Wenn ein \({}_{}^{238}{\rm{U}}\)-Kern zerfällt, entsteht (natürlich erst nach einer langen Zeit) ein \({}_{}^{206}{\rm{Pb}}\)-Kern. Dies bedeutet, dass die Gesamtzahl der in der Probe vorhandenen Kerne stets den Wert \({{N_0}}\) hat:\[{N_0} = {N_{\rm{U}}}\left( t \right) + {N_{{\rm{Pb}}}}\left( t \right) \Leftrightarrow {N_{{\rm{Pb}}}}\left( t \right) = {N_0} - {N_{\rm{U}}}\left( t \right)\]

c)Die Zahl der Bleikerne (steht im Zähler des Bruches in der linken Spalte der Tabelle) nimmt mit zunehmender Zerfallszeit zu, die Zahl der radioaktiven Urankerne (steht im Nenner dieses Bruches) nimmt mit der Zeit ab. Wenn bei einem Bruch der Betrag des Zählers zu- und der Betrag des Nenners abnehmen, steigt der Wert des Bruches an.

d)Allgemein gilt\[\frac{{{N_{{\rm{Pb}}}}\left( t \right)}}{{{N_{\rm{U}}}\left( t \right)}} = \frac{{{N_0} - {N_{\rm{U}}}\left( t \right)}}{{{N_{\rm{U}}}\left( t \right)}} \Rightarrow \frac{{{N_{{\rm{Pb}}}}\left( t \right)}}{{{N_{\rm{U}}}\left( t \right)}} = \frac{{{N_0}}}{{{N_{\rm{U}}}\left( t \right)}} - 1 \Rightarrow \frac{{{N_{{\rm{Pb}}}}\left( t \right)}}{{{N_{\rm{U}}}\left( t \right)}} = \frac{{{N_0}}}{{{N_0} \cdot {e^{ - {\textstyle{{\ln \left( 2 \right)} \over T}} \cdot t}}}} - 1\]Speziell für \(t = 3\cdot T\) gilt\[\frac{{{N_{{\rm{Pb}}}}(3 \cdot T)}}{{{N_{\rm{U}}}(3 \cdot T)}} = \frac{1}{{{e^{ - {\textstyle{{\ln \left( 2 \right)} \over T}} \cdot 3 \cdot {\rm T}}}}} - 1 = {e^{{\textstyle{{\ln \left( 2 \right)} \over T}} \cdot 3 \cdot {\rm T}}} - 1 = {e^{3 \cdot \ln \left( 2 \right)}} - 1 = {e^{\ln \left( {{2^3}} \right)}} - 1 = {2^3} - 1 = 8 - 1 = 7\]

e) 

Für das Alter \(t_{\rm{Probe}}\) der Gesteinsprobe ergibt sich \({t_{{\rm{Probe}}}} \approx 0{,}81 \cdot 4{,}5 \cdot {10^9}\,{\rm{a}} = 3{,}6 \cdot {10^9}\,{\rm{a}}\).