Direkt zum Inhalt

Aufgabe

Kernradius durch elastische Neutronenstreuung

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Werden Neutronen elastisch an Kernen gestreut, so kann man aus der Streuverteilung Rückschlüsse auf den Kernradius ziehen.

a)Berechne die de-BROGLIE-Wellenlänge von Neutronen mit der kinetischen Energie von \(15\rm{MeV}\).

b)Berechne die Weite des Winkels, unter dem das erste Beugungsminimum der "Neutronenwelle" zu erwarten ist, wenn sie an einem Goldkern mit dem Radius \(8 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{m}}\) gebeugt wird.

c)In der nebenstehenden Abbildung sind die Versuchsergebnisse bei der elastischen Neutronenstreuung an verschiedenen Kernen dargestellt. Untersuche, welcher Zusammenhang sich daraus zwischen dem Kernradius und der Massezahl \(A\) herstellen lässt.

Lösung einblendenLösung verstecken Lösung einblendenLösung verstecken

a)Bei Neutronen mit der gegebenen kinetischen Energie darf man noch nicht-relativistisch rechnen. Deshalb gilt
\[{E_{kin}} = \frac{{{p^2}}}{{2 \cdot m}} \Rightarrow p = \sqrt {2 \cdot m \cdot {E_{kin}}} \]
Damit ergibt sich
\[\lambda  = \frac{h}{p} = \frac{h}{{\sqrt {2 \cdot m \cdot {E_{kin}}} }} \Rightarrow \lambda  = \frac{{6,63 \cdot {{10}^{ - 34}}{\rm{Js}}}}{{\sqrt {2 \cdot 1,67 \cdot {{10}^{ - 27}}{\rm{kg}} \cdot 15 \cdot {{10}^6} \cdot 1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot {\rm{V}}} }} = 7,4 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{m}}\]

b)Die Winkelweite des ersten Beugungsminimums ergibt sich aus\[{\rm{sin}}\left( \vartheta  \right) = 0,61 \cdot \frac{\lambda }{r} \Rightarrow {\rm{sin}}\left( \vartheta  \right) = 0,61 \cdot \frac{{7,4 \cdot {{10}^{ - 15}}{\rm{m}}}}{{8 \cdot {{10}^{ - 15}}{\rm{m}}}} = 0,56 \Rightarrow \vartheta  = 34^\circ \]

c)Aus der Abbildung erkennt man
\[{r_{{\rm{Kern}}}} \sim \sqrt[3]{A} \Rightarrow {r_{{\rm{Kern}}}} = C \cdot \sqrt[3]{A}\]
Zur Berechnung der Konstanten \(C\) wählt man sich einen möglichst weit vom Ursprung entfernten Punkt der Geraden aus, z.B. \(\left( {6,5|9 \cdot {{10}^{ - 15}}{\rm{m}}} \right)\) und erhält
\[C = \frac{{9 \cdot {{10}^{ - 15}}{\rm{m}}}}{{6,5}} = 1,4 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{m}}\]
und damit
\[{r_{{\rm{Kern}}}} = 1,4 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{m}} \cdot \sqrt[3]{A}\]