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Aufgabe

Leistung einer Quelle mit Innenwiderstand

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

An eine Batterie mit der Leerlaufspannung \(U_0\) und dem Innenwiderstand \(R_i\) ist ein Verbraucher angeschlossen, so dass der Strom I fließt.

a)Stellen Sie die im Verbraucher umgesetzte elektrische Leistung \(P\) in Abhängigkeit von \(I\), \(U_0\) und \(R_i\) allgemein dar.

b)Das \(I\)-\(P\)-Diagramm für obiges Problem ist eine nach unten geöffnete Parabel.

Berechnen Sie die \(I\)-Werte, an denen die Parabel die \(I\)-Achse schneidet.

c)Für welchen \(I\)-Wert ist die Leistung \(P\) im Verbraucher maximal?

Berechnen Sie den Maximalwert von \(P\).

Wie groß ist in diesem Fall die gesamte von der Batterie abgegebene Leistung?

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a)Für den Verbraucher wirkt die effektive Spannung: \(U=U_0-R_iI\)

Für die Leistung gilt: \(P(I)=UI=(U_0-R_iI)I=U_0I-R_iI^2\)

b)\[P(I_0)=0=U_0I_0-R_iI_0^2\\ \Rightarrow I_0^2 - \frac{U_0}{R_i}I_0 = 0\\ \Rightarrow I_{0_{1,2}}=\frac{U_0}{2R_i}\pm \sqrt{\frac{U_0^2}{R_I^24}}\\ I_{0_1} = \frac{U_0}{R_i}; I_{0_2} = 0\]

c)Das Maximum der Kurve erhält man, wenn man ihre Ableitung gleich 0 setzt.\[ P'(I_m)=-2R_iI_m+U_0=0\\ \Rightarrow I_m = \frac{U_0}{2R_i} \]Da wir nur ein Extremum finden und wissen, dass eine nach unten geöffnete Parabel nur ein Maximum hat, sind wir fertig. Der Maximalwert von P beträgt bei diesem Strom: \(P(I_m)=U_0I_m-R_iI_m^2=\frac{U_0^2}{2R_i}-\frac{U_0^2}{4R_i}=\frac{U_0^2}{4R_i}(=\frac{1}{2}U_0I_m)\)

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Elektrizitätslehre

Widerstand & spez. Widerstand