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Aufgabe

Kugeln einer Influenzmaschine

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Die Kugeln einer Influenzmaschine haben einen Durchmesser von \(2{,}00\,\rm{cm}\) und tragen die entgegengesetzt gleiche Ladung von \(5{,}00 \cdot {10^{ - 7}}\,{\rm{C}}\). Ihr Abstand von Mittelpunkt zu Mittelpunkt beträgt \(10{,}0\,\rm{cm}\).

a)

Berechne den Betrag der elektrischen Feldstärke, die die eine Kugel am Mittelpunkt der anderen Kugel erzeugt.

b)

Berechne den Betrag der Kraft, mit der sich beide Kugeln anziehen.

c)

Berechne den Betrag der elektrischen Feldstärke an dem Punkt der Kugeloberfläche, der der anderen Kugel am nächsten ist, wenn man jetzt die Wirkung beider Kugelladungen berücksichtigt.

d)

Berechne den Betrag der Gesamtfeldstärke in der Mitte zwischen den beiden Kugeln.

Nähert man die Kugeln einander, so kommt es irgendwann zur Entladung durch einen Blitzüberschlag. Dies geschieht, wenn überall entlang der kürzesten Verbindungslinie zwischen den Kugeln die Durchschlagfeldstärke der Luft von ca. \(10 \cdot 10^6\,\frac{\rm{N}}{\rm{A}\,\rm{s}}\) erreicht bzw. überschritten ist.

e)

Berechne, bis zu welchem Abstand man die Kugeln einander nähern muss, bis es zum Überschlag kommt.

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a)
Abb. 1 Skizze zur Lösung der Aufgabenteile a) - d)

Mit \(q = 5{,}00 \cdot 10^{-7}\,\rm{C}\), \(r=10{,}0 \cdot 10^{-2}\,\rm{m}\) und der Formel\[E = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{q}{{{r^2}}}\]ergibt das Einsetzen der gegebenen Werte\[E = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot 8{,}854 \cdot {{10}^{-12}}\,\frac{{{\rm{A}\,\rm{s}}}}{{{\rm{V}\,\rm{m}}}}}} \cdot \frac{{5{,}00 \cdot {{10}^{-7}}\,{\rm{A}\,\rm{s}}}}{{{{\left( {10{,}0 \cdot {{10}^{-2}}\,{\rm{m}}} \right)}^2}}} = 4{,}49 \cdot {10^{5}}\,\frac{{\rm{V}}}{{\rm{m}}}\]

b)

Mit \(q = 5{,}00 \cdot 10^{-7}\,\rm{C}\) und der Formel\[{F_{{\rm{C}}}} = q \cdot E\]ergibt das Einsetzen der gegebenen und berechneten Werte\[{F_{\rm{C}}} = 5{,}00 \cdot {10^{-7}}\,{\rm{A}\,\rm{s}} \cdot 4{,}49 \cdot {10^{-5}}\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{A}\,\rm{s}}}} = 2{,}24 \cdot {10^{-1}}\,{\rm{N}}=0{,}224\,\rm{N}\]

c)

Die elektrische Feldstärke der einen Kugel berechnet sich mit \(q = 5{,}00 \cdot 10^{-7}\,\rm{C}\) und \(r_1=1{,}00 \cdot 10^{-2}\,\rm{m}\) zu\[E = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{q}{{{r^2}}} \Rightarrow E_1 = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot 8{,}854 \cdot {{10}^{ - 12}}\,\frac{{{\rm{A}\,\rm{s}}}}{{{\rm{V}\,\rm{m}}}}}} \cdot \frac{{5{,}00 \cdot {{10}^{-7}}\,{\rm{A}\,\rm{s}}}}{{{{\left( {1{,}00 \cdot {{10}^{-2}}\,{\rm{m}}} \right)}^2}}} = 4{,}49 \cdot {10^7}\,\frac{{\rm{V}}}{{\rm{m}}}\]Die elektrische Feldstärke der anderen Kugel berechnet sich mit \(q = 5{,}00 \cdot 10^{-7}\,\rm{C}\) und \(r_2=9{,}00 \cdot 10^{-2}\,\rm{m}\) zu\[E = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{q}{{{r^2}}} \Rightarrow E_2 = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot 8{,}854 \cdot {{10}^{ - 12}}\,\frac{{{\rm{A}\,\rm{s}}}}{{{\rm{V}\,\rm{m}}}}}} \cdot \frac{{5{,}00 \cdot {{10}^{-7}}\,{\rm{A}\,\rm{s}}}}{{{{\left( {9{,}00 \cdot {{10}^{-2}}\,{\rm{m}}} \right)}^2}}} = 5{,}55 \cdot {10^5}\,\frac{{\rm{V}}}{{\rm{m}}}\]Insgesamt ergibt sich die Feldstärke\[{E_{{\rm{ges}}}} = {E_{\rm{1}}} + {E_{\rm{2}}} \Rightarrow {E_{{\rm{ges}}}} = 4{,}49 \cdot {10^7}\,\frac{{\rm{V}}}{{\rm{m}}} + 5{,}55 \cdot {10^5}\,\frac{{\rm{V}}}{{\rm{m}}} = 4{,}55 \cdot {10^7}\,\frac{{\rm{V}}}{{\rm{m}}}\]

d)

Die elektrische Feldstärke einer Kugel berechnet sich mit \(q = 5{,}00 \cdot 10^{-7}\,\rm{C}\) und \(r=5{,}00 \cdot 10^{-2}\,\rm{m}\) zu\[E = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{q}{{{r^2}}} \Rightarrow E_1 = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot 8{,}854 \cdot {{10}^{ - 12}}\,\frac{{{\rm{A}\,\rm{s}}}}{{{\rm{V}\,\rm{m}}}}}} \cdot \frac{{5{,}00 \cdot {{10}^{-7}}\,{\rm{A}\,\rm{s}}}}{{{{\left( {5{,}00 \cdot {{10}^{-2}}\,{\rm{m}}} \right)}^2}}} = 1{,}80 \cdot {10^6}\,\frac{{\rm{V}}}{{\rm{m}}}\]Die elektrische Feldstärke beider Kugeln ist das Doppelte der einer Kugel und berechnet sich zu\[{E_{{\rm{ges}}}} = 2 \cdot E \Rightarrow {E_{{\rm{ges}}}} = 2 \cdot 1{,}80 \cdot {10^6}\,\frac{{\rm{V}}}{{\rm{m}}} = 3{,}60 \cdot {10^6}\,\frac{{\rm{V}}}{{\rm{m}}}\]

e)
Abb. 2 Skizze zur Lösung von Aufgabenteil e)

Aus den Aufgabenteilen c) und d) kannst du schließen, dass die minimale elektrische Feldstärke in der Mitte der beiden Kugeln herrscht. Dort, d.h. im Abstand \(R+\frac{d}{2}\)  von den Mittelpunkten der beiden Kugeln darf die gesamte elektrische Feldstärke also maximal \(E_{\max }=10 \cdot 10^6\,\frac{\rm{V}}{\rm{m}}\) betragen. Damit ergibt sich die Gleichung\[\begin{eqnarray}{E_{\max }} &=& 2 \cdot \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{q}{{{{\left( {R + \frac{d}{2}} \right)}^2}}}\\{\left( {R + \frac{d}{2}} \right)^2} &=& 2 \cdot \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{q}{{{E_{\max }}}}\\R + \frac{d}{2} &=& \sqrt {2 \cdot \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{q}{{{E_{\max }}}}}\\\frac{d}{2} &=& \sqrt {2 \cdot \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{q}{{{E_{\max }}}}}  - R\\d &=& 2 \cdot \left( {\sqrt {2 \cdot \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{q}{{{E_{\max }}}}}  - R} \right)\end{eqnarray}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[d = 2 \cdot \left( {\sqrt {2 \cdot \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot 8{,}854 \cdot {{10}^{-12}}\,\frac{{{\rm{A}\,\rm{s}}}}{{{\rm{V}\rm{m}}}}}} \cdot \frac{{5{,}00 \cdot {{10}^{-7}}\,{\rm{A}\,\rm{s}}}}{{10 \cdot {{10}^6}\,\frac{{\rm{V}}}{{\rm{m}}}}}}  - 1{,}00 \cdot {{10}^{-2}}\,{\rm{m}}} \right) = 4{,}00 \cdot {10^{-2}}\,{\rm{m}} = 4{,}00\,{\rm{cm}}\]